[論文レビュー] Symmetric Spaces and Star representations II : Causal Symmetric Spaces

Pierre Bieliavsky, M. Pevzner|arXiv (Cornell University)|May 8, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Cayley型のホロノミー簡約可能な単純なシンプレクティック対称空間に対して、正規星表現を構成し、それが群 G の正則離散系列表現に指数化されることを示している。主な結果は、変形量子化とジョルダン代数の技法を用いて、Cayley 対称空間とチューブ型のヘルミート対称空間の間の双対性を非可換幾何的実現として確立することである。

ABSTRACT

We construct and identify star representations canonically associated with holonomy reducible simple symplectic symmetric spaces. This leads the a non-commutative geometric realization of the correspondence between causal symmetric spaces of Cayley type and Hermitian symmetric spaces of tube type.

研究の動機と目的

• ホロノミー簡約可能なシンプレクティック対称空間における共変星積の一般化を、関連する群表現が指数化可能な場合にまで拡張すること。
• Cayley 対称空間とチューブ型のヘルミート対称空間の間の代数的双対性を、非可換幾何的実現として確立すること。
• ジョルダン代数の構造と変形量子化を用いて、星表現と正則離散系列表現を結びつけること。
• Cayley 対称空間上での共変星積に関連する星表現が、変形パラメータの特定の値において、正則離散系列表現と同値であることを示すこと。

提案手法

• ホロノミー簡約可能な単純なシンプレクティック対称空間 $M = G/H$ の稠密な開部分集合上に共変星積を構成する。
• モーメント写像 $\lambda: \mathfrak{g} \to C^\infty(M)$ を用いて、強くハミルトニアンな系を定義する。
• 変形量子化を用い、$C^\infty(M)[[\nu]]$ 上の星積 $\star_\nu$ を導入し、古典的極限におけるポisson括弧を保存する性質を持つ。
• ジョルダン代数論を用いて、対称空間の構造と群 $G$ の表現理論との関係を関連付ける。
• ベクトル場と重み項の比較により、星表現 $\rho^{L}_\nu$ を正則離散系列表現 $d\pi_m$ の導来作用と同一視する。
• ウォーラック集合 $\mathcal{W}$ と式 $m = \frac{\beta(o,o) + n\nu c}{4\nu r c}$ を用い、変形パラメータ $\nu$ を表現パラメータ $m$ に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミー簡約可能なシンプレクティック対称空間のCayley型における星表現は、群 $G$ のユニタリ表現に指数化可能か？
• RQ2 $G/H$ 上の共変星積は、チューブ領域 $G/K$ 上の正則離散系列表現とどのように関係するか？
• RQ3 ジョルダン代数は、Cayley 対称空間の幾何と群 $G$ の表現理論をどのように結びつけるか？
• RQ4 Cayley 対称空間とチューブ型のヘルミート対称空間の双対性を実現する変形量子化は存在するか？

主な発見

• Cayley 型の $M = G/H$ に対して、星表現 $\rho^{L}_\nu$ は、$G$ のユニタリ表現に指数化可能である。
• 特定の値 $m = \frac{\beta(o,o) + n\nu c}{4\nu r c}$ に対して、星表現 $\rho^{L}_\nu$ は導来正則離散系列表現 $d\pi_m$ と同値である。
• $\nu$ を変化させることで、$\mathfrak{g}$ の無限小作用は、$G/H$ 上からチューブ領域 $G/K$ 上の正則作用へ連続的に変形され、$\nu = -\frac{1}{nc}\beta(o,o)$ が離散系列に対応する。
• この構成により、変形量子化を用いて、Cayley 対称空間とチューブ型のヘルミート対称空間の双対性の非可換幾何的実現が得られる。
• 星表現のベクトル場部 $\mathcal{Z}_X^{(\nu)}$ は、チューブ領域上での $X$ の作用と一致し、重み項 $\tau_X^{(\nu)}$ は導来表現 $d\pi_m$ と一致する。
• $\mathfrak{l}^\mathbb{C}$ の部分空間 $U \subset V$ で星表現が適切に定義される集合は空でなく、$G$ に関して不変であるため、表現の指数化が可能である。