[論文レビュー] Symmetric teleparallel general relativity

James M. Nester, Hwei Jang Yo|ArXiv.org|Sep 17, 1998

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用数 189

ひとこと要約

本稿は、時空に曲率と torsion がゼロだが、非計量性が非ゼロである対称的トランスパラレル一般相対性理論（STGR）と呼ばれる一般相対性理論の新しい定式化を提案する。この非計量性が重力相互作用を担う。トランスパラレルフレームで接続係数をゼロとすることで、アインシュタイン擬テンソルは真のテンソルとなり、座標依存の計算が幾何学的に共変な形に高められる。これにより、重力のゲージ理論的解釈が新たな視点から提示される。

ABSTRACT

General relativity can be presented in terms of other geometries besides Riemannian. In particular, teleparallel geometry (i.e., curvature vanishes) has some advantages, especially concerning energy-momentum localization and its ``translational gauge theory'' nature. The standard version is metric compatible, with torsion representing the gravitational ``force''. However there are many other possibilities. Here we focus on an interesting alternate extreme: curvature and torsion vanish but the nonmetricity $ abla g$ does not---it carries the ``gravitational force''. This {\it symmetric teleparallel} representation of general relativity covariantizes (and hence legitimizes) the usual coordinate calculations. The associated energy-momentum density is essentially the Einstein pseudotensor, but in this novel geometric representation it is a true tensor.

研究の動機と目的

• リーマン幾何と標準的トランスパラレル幾何を超えた一般相対性理論の代替的幾何的定式化を探る。
• 曲率と torsion がゼロだが非計量性が非ゼロである対称的トランスパラレル幾何を考察し、重力をその非計量性が担う。
• この枠組みにおいて、アインシュタイン擬テンソルが真のテンソルに変わることを示し、幾何学的正当性を高める。
• 一般相対性理論における標準的な座標依存計算を、新しい幾何的ゲージ構造下での共変表現に再定式化する。
• 非計量性に基づき、計量適合性ではなく重力の新しいゲージ理論的解釈を確立する。

提案手法

• 一般フレーム場を採用し、そのフレームで接続係数をゼロと定義することで、曲率と torsion がゼロになるようにする。
• 接続を Levi-Civita 項と歪み項に分解し、非計量性を重力の唯一の幾何的源として分離する。
• 非計量性テンソルを $ Q_{\mu\nu\lambda} = -g_{\mu\nu,\lambda} $ として表現し、計量の微分と直接関連付ける。
• 非計量性から構成されるクリスタッヘリの記号を用いてラグランジアン密度を導出し、$ \mathcal{L} = \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \left( \left\{ \alpha \atop \gamma\mu \right\} \left\{ \gamma \atop \nu\alpha \right\} - \left\{ \alpha \atop \gamma\alpha \right\} \left\{ \gamma \atop \mu\nu \right\} \right) $ を得る。
• この幾何学的構造において、曲率がゼロであるため、共変微分が偏微分に簡略化され、テンソル計算が容易になる。
• エネルギー運動量密度が、もともとは擬テンソルであったが、この幾何的再定式化により真のテンソルに変わることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率と torsion がゼロだが非計量性が非ゼロである幾何において、一般相対性理論を一貫して定式化できるか？
• RQ2 このような対称的トランスパラレル枠組みにおいて、重力のエネルギー運動量密度はどのように変化するか？
• RQ3 非計量性が torsion の代わりに重力ポテンシャルとして機能する場合、アインシュタイン擬テンソルの幾何的・物理的解釈は何か？
• RQ4 一般相対性理論における標準的な座標依存計算が、この新しい幾何的設定でどの程度共変表現に再定式化可能か？
• RQ5 この定式化は、計量適合性ではなく非計量性に基づく、重力の新しいゲージ理論的理解を支持するか？

主な発見

• 対称的トランスパラレル一般相対性理論（STGR）の枠組みにおいて、アインシュタイン擬テンソルが真のテンソルであることが示され、標準一般相対性理論における長年の非テンソル的性質が解消された。
• 非計量性テンソル $ Q_{\mu\nu\lambda} = -g_{\mu\nu,\lambda} $ が、STGR において重力相互作用を完全に記述し、重力を担う幾何的自由度として torsion の代わりに機能する。
• STGR では、曲率がゼロであるため共変微分が偏微分に簡略化され、テンソル計算が単純化される一方で、幾何学的共変性は保たれる。
• STGR におけるラグランジアン密度は $ \mathcal{L} = \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \left( \left\{ \alpha \atop \gamma\mu \right\} \left\{ \gamma \atop \nu\alpha \right\} - \left\{ \alpha \atop \gamma\alpha \right\} \left\{ \gamma \atop \mu\nu \right\} \right) $ の形を取り、以前の研究で得られた式と一致するが、今や幾何学的に一貫した解釈を持つようになった。
• 座標依存性はフレーム選択から幾何的ゲージ選択に昇格され、この共変枠組みの中で、従来の座標依存計算が正当化された。