[論文レビュー] Symmetries and defects in three-dimensional topological field theory

Jürgen Fuchs, Christoph Schweigert|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特にDijkgraaf-Witten理論を対象として、3次元トポロジカル場理論（TFT）における対称性と欠損の関係を枠組みで結びつける。可逆なトポロジカル的表面欠損が、ラインオペレーターのカテゴリのブレード付き自己同型として対称性を実現することを示している。3種類の対称性——相対バンドルの自己同型、Chern-Simons 2-gerbeの自己同型、電磁双対性——を特定し、それらの作用が群コホホロジーと双モジュールカテゴリによって完全に特徴づけられ、理論の全対称性群はこれらのクラスによって生成される。

ABSTRACT

Boundary conditions and defects of any codimension are natural parts of any quantum field theory. Surface defects in three-dimensional topological field theories of Turaev-Reshetikhin type have applications to two-dimensional conformal field theories, in solid state physics and in quantum computing. We explain an obstruction to the existence of surface defects that takes values in a Witt group. We then turn to surface defects in Dijkgraaf-Witten theories and their construction in terms of relative bundles; this allows one to exhibit Brauer-Picard groups as symmetry groups of three-dimensional topological field theories.

研究の動機と目的

• 3次元トポロジカル場理論におけるトポロジカル的欠損と対称性の役割を理解すること。
• 非退化なブレード付きファイバー分類カテゴリのWitt群を用いて、TFTにおける表面欠損の存在に対する障害を同定すること。
• 相対バンドルとゲージ理論的構成を用いて、Dijkgraaf-Witten理論における表面欠損を定式化すること。
• 可逆な表面欠損を用いて、Dijkgraaf-Witten理論の全対称性群を特徴づけること。
• 対称性の構造を、特にモノイドカテゴリ上のモジュールおよび双モジュールカテゴリというカテゴリ化表現理論と結びつけること。

提案手法

• リシュティヒン＝トゥレイツの構成を用い、3次元TFTを、欠損を伴うTuraev-Reshetikhin型理論として定式化する。
• 表面欠損は、有限群の分類空間上の相対バンドルを介して構成され、主バンドルの一般化である。
• 理論の対称性群は、ラインオペレーターのカテゴリのブレード付き自己同型として実現されるブラウアー＝ピカード群として特定される。
• 3種類の対称性が導出される：相対バンドルの自己同型、群コホホロジー $ H^2(A, bC^ imes) $ を通じたChern-Simons 2-gerbeの自己同型、および群同型 $ \theta: A \to A^* $ を通じた電磁双対性。
• 各対称性の作用をカテゴリ $ A \oplus A^* $ 上で明示的に計算し、欠損がキャラクターのシフトや群とキャラクター成分の交換を通じてブレード付き同型として作用することを示す。
• コホホロジー類から交代的双準同型（B場）へのトランスグレッションを用いて、2-gerbe自己同型の幾何的作用を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元トポロジカル場理論における表面欠損の存在に、どのような障害が存在するか？
• RQ2 Dijkgraaf-Witten理論の対称性は、可逆なトポロジカル的表面欠損によってどのように実現されるか？
• RQ3 ブラウアー＝ピカード群は、3次元TFTの対称性を分類するためにどのように機能するか？
• RQ4 Chern-Simons 2-gerbe自己同型は、Dijkgraaf-Witten理論においてどのように対称性として現れるか？
• RQ5 Dijkgraaf-Witten理論のすべての対称性は、相対バンドル自己同型、2-gerbe自己同型、および電磁双対性によって生成されるか？

主な発見

• 3次元TFTにおける表面欠損の存在は、非退化なブレード付きファイバー分類カテゴリのWitt群に属する要素によって障害を受ける。
• Dijkgraaf-Witten理論において、表面欠損は対角部分群 $ A_{\mathrm{diag}} \subset A \oplus A $ と、$ H^2(A, \bbC^\times) $ に属するコホホロジー類から構成され、これはトランスグレッションによってB場に対応する。
• 理論の対称性群はブラウアー＝ピカード群として実現され、すべての対称性は3種類のものから生じる：相対バンドル自己同型、2-gerbe自己同型、電磁双対性。
• 2-gerbe自己同型のカテゴリ $ A \oplus A^* $ 上での作用は、$ \chi \mapsto \chi + \beta(g, \cdot) $ と与えられ、ここで $ \beta $ は交代的双準同型である。
• 電磁双対性は、ブレード付き同型 $ (g, \chi) \mapsto (\delta^{-1}(\chi), \delta(g)) $ として実現され、$ \delta: A \to A^* $ は同型である。
• バンドル、gerbe、双対性の3つのクラスの対称性は、カテゴリ構造の詳細な解析により、全対称性群 $ \mathrm{O}_q(A \oplus A^*) $ を生成することが確認された。