[論文レビュー] Symmetries in LDDMM with higher order momentum distributions

Henry O. Jacobs|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、微分同相のk-ジャンプを用いて高次の運動量分布を組み込むことで、大変形微分同相計量マッピング（LDDMM）を拡張する。これにより、局所的な回転、スケーリング、せん断をモデル化できる。これらの高次粒子に内在する対称性を同定し、ネーターの定理により保存運動量を導出することで、画像登録における安定で高精度な数値積分の幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

In some implementations of the Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping formulation for image registration we consider the motion of particles which locally translate image data. We then lift the motion of the particles to obtain a motion on the entire image. However, it is certainly possible to consider particles which do more than translate, and this is what will be described in this paper. As the unreduced Lagrangian associated to EPDiff possesses $\Diff(M)$ symmetry, it must also exhibit $G \subset \Diff(M)$ symmetry, for any Lie subgroup. In this paper we will describe a tower of Lie groups $G^{(0)} \subseteq G^{(1)} \subseteq G^{(2)} \subseteq...$ which correspond to preserving $k$-th order jet-data. The reduced configuration spaces $Q^{(k)} := \Diff(M) / G^{(k)}$ will be finite-dimensional (in particular, $Q^{(0)}$ is the configuration manifold for $N$ particles in $M$). We will observe that $G^{(k)}$ is a normal subgroup of $G^{(0)}$ and so the quotient $G^{(0)} / G^{(k)}$ is itself a (finite dimensional) Lie group which acts on $Q^{(k)}$. This makes $Q^{(k)}$ a principle bundle over $Q^{(0)}$ and the reduced geodesic equations on $Q^{(k)}$ will possess $G^{(0)} / G^{(k)}$-symmetry. Noether's theorem implies the existence of conserved momenta for the reduced system on $T^{\ast}Q^{(k)}$.

研究の動機と目的

• ランドマークLDDMMを一般化し、回転、スケーリング、せん断などの高次局所変換を粒子に付与すること。
• 微分同相のk次ジャンプ（k-ジャンプ）を用いて、単なる平行移動を越えた局所的画像データの変形をモデル化すること。
• ヤン・ミルズ理論におけるゲージ対称性に類似した、これらの高次粒子の内部対称性構造を同定すること。
• シンプレクティックな対称性による還元を適用し、測地線計算における数値的安定性を向上させるために保存量を導出すること。
• 一般多様体、特に医療画像における非ユークリッド空間（例：2次元球面）にも適用可能な座標に依存しない幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 粒子の運動をベースとなる多様体Mから微分同相のk-ジャンプバンドルへの上昇を行う。これにより、主バンドルQ^(k) → Qを構成する。
• 微分同相のk次テイラー展開（k-ジャンプ）を用いて高次変形をモデル化し、局所的な線形および非線形変換を記述する。
• 内部自由度を表すGL(d)と対称テンソルS^1_kの半直積として、内部対称性群G^(k)_zを同定する。
• 運動量写像とネーターの定理の理論を用いて、シンプレクティックな対称性による還元を適用し、保存量を導出する。
• ランドマーク上に構造群GL(d) ⋉ S^1_kをもつファイバー・バンドルとして、還元された配置空間Q^(k)を構築する。
• クレブシュのアプローチを用いて還元空間上の測地線方程式を導出し、先行研究（SNDP13）と整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転、スケーリング、せん断といった平行移動を超える局所的画像変形を、LDDMMフレームワーク内で体系的にモデル化する方法は何か？
• RQ2 微分同相のk次ジャンプ情報を持つ粒子の代数的・幾何的構造は何か？
• RQ3 これらの高次粒子に生じる内部対称性は何か？ そして、測地線流れにおける保存運動量とどのように関係するか？
• RQ4 一般多様体Mに対して、座標に依存しない、多様体に適合した方法でk-ジャンプ粒子の対称性構造を形式化できるか？
• RQ5 得られた保存運動量は、LDDMM実装における数値的安定性と精度を向上させることができるか？

主な発見

• 微分同相のk-ジャンプは、局所的画像変形の有限次元表現を提供し、回転やせん断といった高次変換のモデル化を可能にする。
• k次構造を持つ粒子は、構造群GL(d) ⋉ S^1_kをもつ主バンドルQ^(k) → Qを形成する。ここでS^1_kは、対称(1,k)-テンソルの空間である。
• k=1の場合、対称性群はGL(d)であり、k=2の場合、半直積GL(d) ⋉ S^1_2となり、2次局所変形を捕捉する。
• これらの粒子の内部対称性は、ネーターの定理により保存運動量を生じさせ、安定な数値積分器の設計に活用可能である。
• M = ℝ^dの場合、還元配置空間Q^(k)はℝ^d × GL(d) × S^1_2 × ⋯ × S^1_kと同型であることが確認され、先行研究と整合的である。
• 導出された速度場および測地線方程式はSNDP13で提案されたものと一致し、幾何的枠組みがランドマークLDDMMの自然な拡張であることを検証した。