[論文レビュー] Symmetries in Linear and Integer Programs

Katrin Herr, Herr, K.|ArXiv.org|Aug 23, 2009

Optimization and Packing Problems参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、線形計画法および整数計画法における対称性を群論的手法を用いて活用するアプローチを提案する。問題の次元を対称性に配慮した再定式化によって低次元化することで、その次元削減を実現する。最適解が対称性群の固定点集合に常に存在することを証明し、元の問題の低次元再帰的表現を導出するアルゴリズムを提示する。これにより、軌道構造に基づく次元削減によって効率的な解法が可能になる。

ABSTRACT

The notion of symmetry is defined in the context of Linear and Integer Programming. Symmetric linear and integer programs are studied from a group theoretical viewpoint. We show that for any linear program there exists an optimal solution in the fixed point set of its symmetry group. Using this result, we develop an algorithm that allows for reducing the dimension of any linear program having a non-trivial group of symmetries.

研究の動機と目的

• 群論を用いて線形計画法および整数計画法における対称性の役割を形式化すること。
• 分枝限定法の効率を阻害する再帰的探索経路を引き起こす対称的整数計画問題に起因する計算課題に対処すること。
• 分枝限定法のヒューリスティクスに依存しない、一般化された代数的手法による対称性低減を構築すること。
• 対称的線形計画問題の最適解がその対称性群の固定点集合に存在することを示すこと。
• 軌道構造を活用して対称的LPの次元を低減する事前処理アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 線形計画問題の対称性を、制約行列と目的関数ベクトルを不変に保つ変数の置換として定義する。
• 変数インデックスに作用する対称群の部分群として、対称性群を形式化する。
• 軌道代表元から導かれる行列 $ M_r $ を用いて、対称性群の固定点空間への射影により、元の問題の再帰的表現を構築する。
• 軌道安定化定理を用いて軌道の数を特定し、これが低次元化された問題の次元を決定することを示す。
• 元のLPの最適解が、低次元再帰的表現の解から行列 $ M_r $ を用いて回復可能であることを証明する。
• 低次元化された問題にさらなる対称性が存在する場合は、この手法を繰り返し適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形計画問題における対称性は、最適解を変更せずに問題の次元を体系的に低減するために活用可能か？
• RQ2 すべての対称的線形計画問題は、その全対称性群に関して不変な最適解を有するか？
• RQ3 特定の最適化ヒューリスティクスに依存しない、一般化された代数的手法を用いて対称的LPを低次元化可能か？
• RQ4 対称性群の軌道数は、低次元化された問題の次元とどのように関係するか？
• RQ5 対称性低減技術を繰り返し適用することで、対称的整数計画問題をどの程度さらに単純化できるか？

主な発見

• 非自明な対称性群を有する線形計画問題は、すべてその群の固定点集合に最適解を有する。
• 低次元化された問題の次元は、対称性群の内部構造に依存せず、軌道の数にのみ依存する。
• 元のLPの最適解は、行列 $ M_r $ を用いて低次元再帰的表現の解から再構成可能であり、この行列は軌道代表元を元の変数に写像する。
• アルゴリズムは、最適性を保持する対称的に低次元化された問題に置き換えることで、次元削減を達成する。
• この手法は一般性に富み、事前処理に特化しており、非自明な対称性を有する任意のLPに適用可能であり、分枝限定法のヒューリスティクスに依存しない。
• 低次元化後も問題が依然として対称性を有する場合があるため、さらなる単純化が可能であり、繰り返し適用によってさらに簡略化が可能である。