[論文レビュー] Symmetries in noncommutative field theories: Hopf versus Lie

Dmitri Vassilevich|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ホップ代数構造によるライプニッツ則の変形を通じて、非可換場の理論における運動方程式の不整合を解消するため、ゲージ共変なねじれ演算子を提案する。ゲージ群の要素Uから導かれる自明な接続を用いてねじれたスタープロダクトを定義し、適切にUが変化する場合に標準的なゲージ対称性とライプニッツ則を保つ新しいゲージ不変量を導入する。これにより、任意のゲージ群をもつ非可換ゲージ理論の整合的枠組みが得られる。

ABSTRACT

I discuss motivations for introducing Hopf algebra symmetries in noncommutative field theories and briefly describe twisting of main symmetry transformations. New results include an extended list of twisted gauge invariants (which may help to overcome the problem of inconsistency of equations of motion) and a gauge-covariant twist operator (leading to a gauge-covariant star product).

研究の動機と目的

• 非可換場の理論における運動方程式の不整合を、ねじれ対称性によるライプニッツ則の変形によって解消すること。
• 結合的かつ標準的ゲージ変換と整合するゲージ共変スタープロダクトを構築すること。
• 非可換ゲージ理論における力学の整合性を保つために、ねじれたゲージ不変量のリストを拡張すること。
• ねじれ演算子がゲージ群の要素Uから導かれる接続を通じてゲージ共変にされる場合に、標準的ゲージ対称性が保存されることを示すこと。
• ゲージ変換自体をねじる必要のない、任意のゲージ群をもつ非可換ゲージ理論の枠組みを提供すること。

提案手法

• 共変微分∇̃_μ = ∂_μ + Ã_μを用い、Ã_μ = U(∂_μ U^{-1}) である自明な接続から得られるねじれ演算子 𝒫_U = -i/2 θ^{μν} ∇̃_μ ⊗ ∇̃_ν を導入する。
• φ₁ ⋆_U φ₂ = μ ∘ 𝒫_U^{-1}(φ₁ ⊗ φ₂) として、結合的かつゲージ対称性と整合するゲージ共変スタープロダクトを構築する。
• 物質場φおよびゲージ場A_μの変換δ_αφ = αφ および δ_αA_μ = -∂_μα + [α, A_μ] を定義し、Uがδ_αU = α·U と変化することで不変性が保たれることを示す。
• A_μ ⋆_U φ₁ のスタープロダクトを、合成場Φ = (φ₁, A_μ, 1)^T に作用する表現R(U) を用いて導出する。これにより正しい変換性が保証される。
• φ、A_μ、U の変換規則を一貫して適用した場合、⋆_Uプロダクトを用いて定義された場強度F_μνがゲージ不変であることを示す。
• Uの2通りの選択肢を提示する：独立した動的場としてのU（新しい作用が必要）、またはゲージ固定されたA_μ^Tにおける縦成分の再定義。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合的かつ標準的ゲージ対称性を保つようなゲージ共変ねじれ演算子を構築することは可能か？
• RQ2 ⋆_Uプロダクトを用いて構築された新しいねじれたゲージ不変量は、標準的ライプニッツ則を満たし、真のゲージ不変量のままであるか？
• RQ3 ゲージ変換自体をねじることなく、任意のゲージ群をもつ非可換ゲージ理論を定式化することは可能か？
• RQ4 ねじれ共変性を構築するために用いられるゲージ群要素Uの物理的性質は何か？動的場として扱えるか、それともゲージ条件に束縛される必要があるか？
• RQ5 ゲージ共変ねじれの導入が、非可換場の理論における運動方程式の不整合をどのように解消するのか？

主な発見

• 自明な接続 Ã_μ = U(∂_μ U^{-1}) を用いて、𝒫_U = -i/2 θ^{μν} ∇̃_μ ⊗ ∇̃_ν であるゲージ共変ねじれ演算子が構築され、これにより得られるスタープロダクト ⋆_U は結合的であることが保証される。
• スタープロダクト φ₁ ⋆_U φ₂ は明示的に (R₁⊗R₂)(U) · (R₁(U^{-1})φ₁ ⋆ R₂(U^{-1})φ₂) として与えられ、ここで ⋆ は標準的なモイアルプロダクトである。
• 物質場およびゲージ場が δ_αφ = αφ および δ_αA_μ = -∂_μα + [α, A_μ] と変化し、Uが δ_αU = α·U と変化するとき、新しい不変量は変形されていないライプニッツ則を満たし、真のゲージ不変量のままである。
• ⋆_Uプロダクトを用いて定義された場強度F_μνは、標準的ケースと同一の不変性性質 (16) を満たし、整合性が確認される。
• この構成により、ゲージ変換則の変形を必要とせず、任意のゲージ群をもつ非可換ゲージ理論を構築できる。
• Uの2通りの実現方法が同定された：独立した動的場としてのU、またはゲージ固定されたA_μ^Tにおける縦成分の再定義。ただし、両者の物理的妥当性は未解決のままである。