[論文レビュー] Symmetries of 2d TQFTs and Equivariant Verlinde Formulae for General Groups

Sergei Gukov, Peijun Du+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、2次元TQFTにおける一般化された対称性——特に0次元および1次元対称性——の体系的解析を通じて、半単純TQFTの等変Verlinde公式を統一的な枠組みで確立する。ゲージ理論的手法とG-Higgs束のモジュライ空間の幾何学的量子化を用いて、任意の単純群、特に$PSL(2,\bbC)$の等変Verlinde代数を導出し、$PSL(2,\bbC)$の場合には融合規則とトレース構造の完全分類が得られる。

ABSTRACT

We study (generalized) discrete symmetries of 2d semisimple TQFTs. These are 2d TQFTs whose fusion rules can be diagonalized. We show that, in this special basis, the 0-form symmetries always act as permutations while 1-form symmetries act by phases. This leads to an explicit description of the gauging of these symmetries. One application of our results is a generalization of the equivariant Verlinde formula to the case of general Lie groups. The generalized formula leads to many predictions for the geometry of Hitchin moduli spaces, which we explicitly check in several cases with low genus and SO(3) gauge group.

研究の動機と目的

• 2次元TQFTにおける一般化された対称性の視点から、Verlinde公式の異なるバージョンを統一すること。
• Higgs束のモジュライ空間の等変量子化を用いて、特に$PSL(2,\bbC)$のような simply でない群へのVerlinde公式の拡張を図ること。
• 半単純2次元TQFTにおける0次元および1次元対称性のゲージ理論的扱いを体系的に行い、その融合規則およびトレース構造への影響を明らかにすること。
• $PSL(2,\bbC)_k$の等変Verlinde代数と融合規則を、幾何学的および圏論的手法を用いて計算すること。
• $PSL(2,\bbC)$Verlinde代数の幾何的実現をHitchin特徴子とカテゴライゼーションを用いて確立すること。

提案手法

• 2次元半単純TQFTと可換なFrobenius代数の同値性を用い、TQFTのデータを代数的構造に符号化する。
• 0次元および1次元対称性の有限ゲージ理論を適用して、既存のTQFTから新しいTQFTを生成し、半単純性を保存する。
• 特に$\mathbb{Z}_2^{(0)}$および$\mathbb{Z}_2^{(1)}$対称性を対象に、群作用下での分配関数および融合規則の解析を通じて等変Verlinde公式を導出する。
• $PSL(2,\bbC)$のVerlinde代数を、1個の穴あきトーラス上のモジュライ空間$\mathcal{M}(PSL(2,\bbC))$の幾何学的量子化により計算する。
• 等変トレースおよびHitchin特徴子を用いて融合規則を計算し、双対性および正値性の制約を組み込む。
• 結合則および正値性条件を適用して、$PSL(2,\bbC)$の場合に融合係数を一意に特定し、対称性の制約による曖昧性を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された対称性——特に0次元および1次元対称性——は、Verlinde公式の異なるバージョンをどのように統一するか？
• RQ2 $PSL(2,\bbC)$の等変Verlinde代数の構造は何か？ そしてそれは$\mathcal{M}(PSL(2,\bbC))$の幾何学的量子化からどのように生じるか？
• RQ3 $SL(2,\bbC)_k$理論の$\mathbb{Z}_2^{(1)}$および$\mathbb{Z}_2^{(0)}$対称性のゲージ化から、$PSL(2,\bbC)_k$ TQFTにおける融合規則はどのように導かれるか？
• RQ4 双対性および正値性は、$PSL(2,\bbC)_k$ Verlinde代数の融合係数にどのような制約を課えるか？
• RQ5 等変トレースおよびHitchin特徴子は、$\mathcal{T}(PSL(2,\bbC)_k)$の融合規則を計算するためにどのように用いられるか？

主な発見

• 任意の単純群に対する等変Verlinde公式は、半単純2次元TQFTにおける0次元および1次元対称性のゲージ理論によって導出される。
• $PSL(2,\bbC)_k$では、対称性の制約、結合則、正値性を組み合わせることで、融合係数が完全に決定され、融合係数の曖昧性が解消される。
• $x^a \times x^b$における$PSL(2,\bbC)$Verlinde代数の融合規則$\widetilde{f}^{ab}{}_{c} = f^{ab}{}_{c} + f^{(k-a)b}{}_{c}$が導出され、これは$\mathbb{Z}_2^{(0)}$双対性対称性を反映している。
• $\mathbb{Z}_2^{(0)}$対称性および正値性によって、$\widetilde{f}^{a\mu}{}_{b} = f^{a\frac{k}{2}}{}_{b}$の融合係数が一意に固定され、$\mu$は2つの$\mathbb{Z}_2$-ねじれセクターをラベルする。
• $x^\mu \times x^\nu$の融合は$\sum_{\mu,\nu} \widetilde{f}^{\mu\nu}{}_{c} = 2f^{\frac{k}{2}\frac{k}{2}}{}_{c}$および$\sum_{\mu,\nu} \widetilde{f}^{\mu\nu}{}_{\frac{k}{2}} = f^{\frac{k}{2}\frac{k}{2}}{}_{\frac{k}{2}}$を満たし、$\mathbb{Z}_2^{(0)}$双対性と整合的である。
• $PSL(2,\bbC)$Verlinde代数は、1個の穴あきトーラス上の$\mathcal{M}(PSL(2,\bbC))$の幾何学的量子化を用いた圏論的実現がなされ、等変トレースはHitchin特徴子の計算と一致する。