[論文レビュー] Symmetries of Differential equations and Applications in Relativistic Physics

Andronikos Paliathanasis|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 154被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文では、微分方程式のリーおよびノエター点対称性をリーマン多様体の共形変換に結びつける幾何学的技法を提案する。この手法により、ニュートン系の分類、曲がった空間におけるケプラーリ・エルマコフ系の一般化、熱方程式およびラプラス方程式における隠れた対称性の同定が可能となる。本手法は修正重力理論に応用され、ノエター対称性が幾何的選択規則として機能し、$ R^{n} $、$ R^{3/2} $、$ f(T) = T^n $ などの有効なダークエネルギー模型を特定する。これらの模型に対して、ノエター積分を用いて正確な解が導出される。

ABSTRACT

In this thesis, we study the one parameter point transformations which leave invariant the differential equations. In particular we study the Lie and the Noether point symmetries of second order differential equations. We establish a new geometric method which relates the point symmetries of the differential equations with the collineations of the underlying manifold where the motion occurs. This geometric method is applied in order the two and three dimensional Newtonian dynamical systems to be classified in relation to the point symmetries; to generalize the Newtonian Kepler-Ermakov system in Riemannian spaces; to study the symmetries between classical and quantum systems and to investigate the geometric origin of the Type II hidden symmetries for the homogeneous heat equation and for the Laplace equation in Riemannian spaces. At last but not least, we apply this geometric approach in order to determine the dark energy models by use the Noether symmetries as a geometric criterion in modified theories of gravity.

研究の動機と目的

• 微分方程式の点対称性を、それらの背後にあるリーマン多様体の共形変換に結びつける幾何学的枠組みを構築すること。
• リーおよびノエター点対称性に基づいて、2次元および3次元のニュートン力学系を分類すること。
• ニュートン的ケプラーリ・エルマコフ系をリーマン空間へ一般化し、その相対論的実現を検討すること。
• リーマン空間における均一な熱方程式およびラプラス方程式におけるタイプIIの隠れた対称性の幾何学的起源を解明すること。
• 修正重力理論におけるノエター対称性を幾何的選択基準として用い、有効なダークエネルギー模型を同定すること。

提案手法

• 幾何学的手法は、微分方程式の点対称性と、運動が行われるリーマン多様体の共形変換（例えば、キリング、等長、共形）との直接的な対応関係を確立する。
• 計算代数システムに依存せずに、点変換の延長およびリー微分を用いて、対称性の決定方程式を導出する。
• 偏微分方程式に対しては、リーマン空間における均一な熱方程式およびラプラス方程式の対称性を解析し、タイプIIの隠れた対称性が生じる条件を同定する。
• 宇宙論においては、スカラー・テンソルおよび $ f(R) $、$ f(T) $ 重力模型にノエター点対称性を適用し、スカラー場のポテンシャルおよび $ f(R) $、$ f(T) $ の関数形を制約する。
• 共形変換を用いて、非最小結合スカラー場を共形的に関連する空間内での最小結合スカラー場に変換し、力学的解析を簡略化する。
• 特に、FRWおよび球対称時空において、$ R^n $、$ R^{3/2} $、$ f(T) = T^n $ 模型に対して、ノエター積分を用いて解析的解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階微分方程式のリーおよびノエター点対称性は、それらの背後にあるリーマン多様体の共形変換とどのように幾何学的に結びつけられるか？
• RQ2 リーマン空間における均一な熱方程式およびラプラス方程式におけるタイプIIの隠れた対称性の幾何学的起源は何か？
• RQ3 修正重力模型（$ f(R) $、$ f(T) $、スカラー・テンソル）のうち、非自明なノエター点対称性を持つものはどれであり、それらに物理的意味は何か？
• RQ4 ケプラーリ・エルマコフ系はどのようにリーマン多様体へ一般化可能か？また、曲がった時空におけるその対称性は何か？
• RQ5 ノエター対称性は、宇宙論において有効なダークエネルギー模型を同定するための幾何的選択規則として機能できるか？

主な発見

• 幾何学的手法は、シンボリック計算に依存せずに、リーおよびノエター対称性を有する2次元および3次元のニュートン系を成功裏に分類し、体系的な枠組みを提供する。
• 自己同様のケプラーリ・エルマコフ系はリーマン空間へ一般化可能であり、3次元系では、並進および $ so(3) $ 回転からのノエター対称性により可積分性が達成される。
• 熱方程式におけるタイプIIの隠れた対称性は、その生成子が勾配共形キリングベクトル（CKV）である場合にのみ生じる。このような簡約はラプラス方程式に帰着する。
• $ f(R) $ 重力理論において、空間的に平坦なFRW時空で非自明なノエター対称性を持つ唯一の有効模型は、$ R^n $、$ R^{7/8} $、$ (R-2\Lambda)^{7/8} $、$ R^{3/2} $、$ (R-2\Lambda)^{3/2} $ である。$ 7/8 $ および $ 3/2 $ の模型はケプラーリ・エルマコフ系および非等方的振動子系と関連している。
• $ f(T) $ 重力理論においては、対角フレームで追加のノエター対称性を持つ唯一の関数形は $ f(T) = T^n $ であり、FRWおよび静的球対称時空において解析的解が得られる。
• スカラー・テンソル宇宙論において、すべての非最小結合スカラー場は、変換されたポテンシャルを持つ最小結合スカラー場に共形的に等価であり、これによりモデル間の力学的挙動の統一的解析が可能になる。