[論文レビュー] Symmetries of Hamiltonian equations and Lambda-constants of motion

Giampaolo Cicogna|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、標準的なリー点対称性の一般化であるΛ対称性を示すハミルトニアン系における「Λ-保存量」の概念を導入する。Λ対称性はハミルトニアン方程式の体系的縮約をもたらし、特定の条件下で保存量の存在を保証する。これはラグランジュ的Λ不変性をハミルトニアン形式へと拡張したものであり、明示的な例を含む。

ABSTRACT

We consider symmetries and perturbed symmetries of canonical Hamiltonian equations of motion. Specifically we consider the case in which the Hamiltonian equations exhibit a Lambda symmetry under some Lie point vector field. After a brief survey of the relationships between standard symmetries and the existence of first integrals, we recall the definition and the properties of Lambda symmetries. We show that in the presence of a Lambda symmetry for the Hamiltonian equations, one can introduce the notion of "Lambda-constant of motion". The presence of a Lambda symmetry leads also to a nice and useful reduction of the form of the equations. We then consider the case in which the Hamiltonian problem is deduced from a Lambda-invariant Lagrangian. We illustrate how the Lagrangian Lambda-invariance is transferred into the Hamiltonian context and show that the Hamiltonian equations are Lambda-symmetric. We also compare the "partial" (Lagrangian) reduction of the Euler-Lagrange equations with the reduction which can be obtained for the Hamiltonian equations. Several examples illustrate and clarify the various situations.

研究の動機と目的

• 標準的なリー点対称性からカノニカルハミルトニアン系におけるΛ対称性への対称性理論の拡張を図ること。
• 第一積分に類似した「Λ-保存量」の概念を定義・特徴づけること。
• ラグランジュ形式におけるΛ不変性がハミルトニアン形式へとどのように移行するかを調査すること。
• ラグランジュ的部分的縮約とΛ対称性下での完全なハミルトニアン縮約との比較を行うこと。
• Λ対称性がハミルトニアン系の単純化および解法に実用的にどのように寄与するかを示す具体的な例を提示すること。

提案手法

• リー微分および全時間微分作用素を用いて、ハミルトニアン方程式の標準的対称性条件をΛ対称性の状況に適応する。
• 行列Λおよび対称性生成子を含む一般化されたネーター定理を用いて、保存量がΛ-保存量であるための条件を導出する。
• ルジャンドル変換を用いてΛ不変ラグランジュ関数とΛ対称ハミルトニアン系との整合性を保証する。
• 不変座標法（例：w = qp exp(q)）を用いて系の変数数を削減し、運動方程式の簡略化を図る。
• 量SのΛ保存性を検証するための条件D_t S = -∇(ΛΦ)を用いる。これは標準的な発散条件を一般化したものである。
• X^{(L)}の不変量によるラグランジュ的部分的縮約とXの不変量によるハミルトニアン的完全縮約を比較し、特殊な場合に両者が等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一積分の概念はΛ対称性を有する系へと一般化可能か？その対応する保存量は何か？
• RQ2 ラグランジュ関数がベクトル場X^{(L)}に関してΛ不変であるとき、対応するハミルトニアン方程式はどのように対称性を有するか？
• RQ3 ラグランジュ方程式の部分的縮約と、Λ対称性下でのハミルトニアン方程式の完全縮約との関係は何か？
• RQ4 どのような条件下でΛ対称性がハミルトニアン系の完全な縮約をもたらすか？
• RQ5 ∇·Φ - {H,τ}で定義される量Sは、Λ-保存量に一般化可能か？その力学的挙動はいかなるものか？

主な発見

• Λ-保存量はΛ対称性を有するハミルトニアン系に対して定義可能であり、一般化された保存則D_t S = -∇(ΛΦ)を満たす。これは標準的なネーター枠組みを拡張するものである。
• ラグランジュ関数がベクトル場X^{(L)}に関してΛ不変であるとき、対応するハミルトニアン系は拡張されたベクトル場Xに関してΛ対称性を有し、両形式の整合性が保たれる。
• 対称性生成子が生成関数を有する場合、ハミルトニアン系の完全な縮約が可能である。例6では4つの変数が3つに縮約された。
• 対称性条件が成立するとき、量S = ∇·Φ - {H,τ}はΛ-保存量であることが示され、例7ではS = -qとなる。その時間微分は一般化された保存則を満たす。
• 例6のハミルトニアン方程式は、w₁, w₂, G, zを含む系に縮約され、明示的な運動則：ẇ₁ = w₁w₃, ẇ₂ = w₃ - w₂, ẋG = -G, ż = z + w₂ - w₃を有する。これは顕著な簡略化を示している。
• 部分的ラグランジュ的縮約により得られる特定解（例：θ = 0 または w₂ = w₃ = 定数）は、完全なハミルトニアン的縮約の特別な場合に対応し、両手法の整合性が確認される。