[論文レビュー] Symmetries of homogeneous cosmologies

Spiros Cotsakis, P. G. L. Leach+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ジェットバンドルとベクトル場拡張を用いてスカラー場を伴う一様な宇宙論を再定式化し、クラスAおよびBのビアンキモデルにおけるリー対称性および変分的対称性を分類する。対称性解析を通じて第一積分を同定し、指数関数的ポテンシャルが対称性制約から自然に導かれることが示され、宇宙論的モデルにおける等方化および特異点の挙動を幾何学的枠組みで研究する基盤を提供する。

ABSTRACT

We reformulate the dynamics of homogeneous cosmologies with a scalar field matter source with an arbitrary self-interaction potential in the language of jet bundles and extensions of vector fields. In this framework, the Bianchi-scalar field equations become subsets of the second Bianchi jet bundle, $J^2$, and every Bianchi cosmology is naturally extended to live on a variety of $J^2$. We are interested in the existence and behaviour of extensions of arbitrary Bianchi-Lie and variational vector fields acting on the Bianchi variety and accordingly we classify all such vector fields corresponding to both Bianchi classes $A$ and $B$. We give examples of functions defined on Bianchi jet bundles which are constant along some Bianchi models (first integrals) and use these to find particular solutions in the Bianchi total space. We discuss how our approach could be used to shed new light to questions like isotropization and the nature of singularities of homogeneous cosmologies by examining the behaviour of the variational vector fields and also give rise to interesting questions about the `evolution' and nature of the cosmological symmetries themselves.

研究の動機と目的

• スカラー場を伴う一様な宇宙論における対称性を解析するため、ジェットバンドルとベクトル場拡張を用いた幾何学的枠組みを構築すること。
• 任意の自己相互作用ポテンシャルを持つクラスAおよびBのビアンキモデルのすべてのリー対称性および変分的対称性を分類すること。
• これらの対称性から第一積分を導出し、新しいビアンキ-スカラー宇宙論のケースに対して明示的解を構成すること。
• 変分的ベクトル場の挙動を通じて、対称性が宇宙論的進化、等方化、特異点構造とどのように関連するかを調査すること。
• 今後、他の物質場を含めるアプローチを拡張し、接触対称性の検討を行うこと。

提案手法

• 力学系を第二ジェットバンドル $J^2$ の中に形式化し、方程式をこの幾何的空間の部分集合として扱う。
• 作用関数を不変にする対称性を特定するため、ベクトル場の第二拡張をオイラー＝ラグランジュ方程式に適用する。
• ノーザーの定理を用いて変分的対称性から第一積分を導出し、対称性と保存量を結びつける。
• 候補となる対称性ベクトル場の第二拡張に対する不変性を要求することで、ポテンシャル $V(\phi)$ に制約を課す。
• 真空中およびスカラー場のケースを分析し、ポテンシャル項の有無に応じた場合分けを行う。
• 特にタイプI、VIII、IXモデルにおける差異を強調しながら、ビアンキタイプ間の対称性構造を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の自己相互作用ポテンシャルを持つビアンキ-スカラー宇宙論において、どのようなリー対称性および変分的対称性が存在するか？
• RQ2 ビアンキモデルの対称性は、特異点付近や等方化過程におけるその力学的挙動とどのように関連するか？
• RQ3 特定の対称性を保つためにスカラー場ポテンシャルがどのような形をとらなければならないか？ また、これにより宇宙論的力学がどのように制約されるか？
• RQ4 ジェットバンドルとベクトル場拡張の幾何学的枠組みを用いて、第一積分および正確解を体系的に導出できるか？
• RQ5 ビアンキモデルの対称性群は漸近的にどのように変化するか？ また、等方化過程においてFRWモデルのそれらに近づくか？

主な発見

• すべてのビアンキ-スカラー宇宙論は、時間並進不変性に起因する自明なノーザー対称性 $\partial_t$ を有しており、これはその非自明性（autonomous nature）を反映している。
• ケース2において、スカラー場のポテンシャルが定数のとき、スカラー場のシフト不変性に対応する対称性 $\partial_\phi$ が多数のモデルで共通して現れる。
• 制限のないポテンシャルを持つケース2の一般対称性において、解析によりポテンシャルが $V = K e^{a\phi}$ に制限されることが示され、指数関数的ポテンシャルのみがこのような対称性を保存することが判明した。
• クラスAおよびBの両方において、対称性 $v = t\partial_t + a\partial_\phi + \partial_\lambda$ が導かれ、これはビアンキタイプIと同一の指数関数的ポテンシャル形を示す。
• 第二拡張を方程式に適用することで、ポテンシャル制約 $V = K e^{-2\phi/a}$ が得られ、対称性とポテンシャル形との直接的な関係が示された。
• ビアンキタイプVIIIおよびIXは、最小の対称性群（$\partial_t$ および $\partial_\phi$）を有しており、それらの既知の力学的複雑性および追加対称性の欠如と整合的である。