[論文レビュー] Symmetries of the equations of motion that are not shared by the Lagrangian

G. F. Torres del Castillo, Alhan Moreno-Ruiz|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Geotechnical and Geomechanical Engineering参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、運動方程式が特定の変換に対して形不変性を保つ場合でさえ、それに対応するラグランジアンが同じ変換に対して不変でないことがあることを示している。主な貢献は、標準的なネーター的論理の逆を証明することである：運動方程式の対称性は、ラグランジアンの不変性を意味しない。機械系および場の理論の両方で明示的な例が提示されており、特に源のないマクスウェル方程式に対してローレンツ不変でないラグランジアンでも、ローレンツ共変な運動方程式が得られることを示している。

ABSTRACT

We show that if a Lagrangian is invariant under a transformation (with the invariance defined in the standard manner), then the equations of motion obtained from it maintain their form under the transformation. We also show that the converse is not true, giving examples of equations of motion that are form-invariant under a transformation, but these equations can be derived from a Lagrangian that is not invariant under such transformation. The conclusions are valid for discrete or continuous systems.

研究の動機と目的

• 運動方程式の対称性とそれに対応するラグランジアンの対称性の関係を明確にすること。特に、教科書に広く見られる誤解を踏まえて。
• ある変換に対して運動方程式が形不変である場合、その変換に対してラグランジアンが不変でなくてもよいことを示すこと。
• 離散系および連続系の両方で、運動方程式は対称的だがラグランジアンは対称的でない明確な反例を提供すること。
• 相対論的場の理論、例えばマクスウェル方程式においてでさえ、ラグランジアンがローレンツ変換に対して不変でなくても、運動方程式がローレンツ共変になることがあることを示すこと。

提案手法

• 座標変換 (q′, t′) における運動方程式の不変性を、新しい変数における方程式の関数的形の保存として定義すること。
• 標準的なオイラー＝ラグランジュ形式を用いて、ラグランジアン L(qi, q̇i, t) から運動方程式を導出すること。変数を独立変数として扱う。
• 時間再パrametrization を d t / d t′ を用いて考慮する変換ラグランジアン L′ を導入し、得られる運動方程式の等価性を保証すること。
• ラグランジアンの変換に対する不変性の条件を適用する：L′(q′i, q̇′i, t′) = L(qi, q̇i, t) × (d t / d t′) であり、これは力学を保存する。
• 無限小ローレンツ変換を用いて、源のないマクスウェル場の非標準的ラグランジアン密度の不変性を検証すること。
• テンソル計算およびリーマン・クリヴォの記号の恒等式を用いて、ブースト変換の下でのラグランジアンの変動が全微分として書けないことを示し、不変性の不成立を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ある変換に対して運動方程式が形不変であっても、それに対応するラグランジアンがその変換に対して不変でない場合があるか？
• RQ2 標準的なネーター定理の結果の逆は成り立つか：運動方程式の対称性は、ラグランジアンの不変性を意味するのか？
• RQ3 ローレンツ変換に対して不変でないラグランジアンでも、電磁場の運動方程式がローレンツ共変になることは可能か？
• RQ4 ゲージ不変なラグランジアン密度が存在する場の理論的例は、ローレンツブーストなどの時空対称性に対して不変でないことがあるか？

主な発見

• ラグランジアンが不変である変換に対しては、そのラグランジアンから導かれる運動方程式は常に形不変である。これは教科書の標準的主張を確認するものである。
• 逆は成り立たない：運動方程式が変換に対して形不変であっても、ラグランジアンがその変換に対して不変でない場合がある。
• 源のないマクスウェル方程式のためのラグランジアンが、ローレンツブーストに対して不変でないが、運動方程式がローレンツ共変である明確な例が提示されている。
• ラグランジアンの変動が全微分として表現できないことにより、ローレンツ変換に対するラグランジアンの不変性が証明され、不変性の必要条件を満たさないことが示された。
• E および B の場のみを用いたマクスウェル方程式の非ラグランジュ的定式化が提供されており、これはゲージ不変であり、ポテンシャルに基づく定式化に起因する可能性のある問題を回避する。
• この結果は、場の理論における基本的対称性の探索が、ラグランジアンに限定されるべきでないことを示唆しており、運動方程式はラグランジアンに存在しない対称性を示す可能性がある。