[論文レビュー] Symmetries of the transfer operator for $\Gamma_0(N)$ and a character deformation of the Selberg zeta function for $\Gamma_0(4)$

Markus Szymon Fraczek, Dieter Mayer|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、セリンブの特徴的変形 $\chi_\alpha$ の下で、Hecke合同部分群 $Γ_0(4)$ の転送作用素に現れる対称性を確立し、縮小された転送作用素の固有関数と、ある対合に関して明確な偶奇性を持つマース形式との関係を示す。特に対応する固有値 $\lambda = -1$ の場合、セリンブゼータ関数の零点は特徴的変形の下でも臨界線 $\Re(\beta) = 1/2$ 上に留まることが示され、$\lambda = +1$ の場合については数値的証拠およびサルナックとフィリップスによる尖点形式の変形に関する結果に基づき、線から離れることが予想される。

ABSTRACT

The transfer operator for [math] and trivial character [math] possesses a finite group of symmetries generated by permutation matrices [math] with [math] . Every such symmetry leads to a factorization of the Selberg zeta function in terms of Fredholm determinants of a reduced transfer operator. These symmetries are related to the group of automorphisms in [math] of the Maass wave forms of [math] . For the group [math] and Selberg’s character [math] there exists just one nontrivial symmetry operator [math] . The eigenfunctions of the corresponding reduced transfer operator with eigenvalue [math] are related to Maass forms that are even or odd, respectively, under a corresponding automorphism. It then follows from a result of Sarnak and Phillips that the zeros of the Selberg function determined by the eigenvalue [math] of the reduced transfer operator stay on the critical line under deformation of the character. From numerical results we expect that, on the other hand, all the zeros corresponding to the eigenvalue [math] are off this line for a nontrivial character [math] .

研究の動機と目的

• セリンブの特徴 $χ_\alpha$ の変形の下で、$Γ_0(4)$ のセリンブゼータ関数の零点の挙動を調査すること。
• $Γ_0(N)$ の転送作用素の対称性を特定し、それらをマース波動関数の自己同型と関連付けること。
• これらの対称性によって誘導される縮小された転送作用素のフレドホルム行列式を用いて、セリンブゼータ関数の因数分解を分析すること。
• 特徴的変形の下で、$Γ_0(4)$ のセリンブゼータ関数の零点が臨界線上に留まるかどうかを特定すること、特に偶数および奇数のマース形式の間で区別すること。

提案手法

• 地図的流れの記号的ダイナミクスを用いて、$Γ_0(4)$ に対して特徴 $χ_\alpha$ を持つ転送作用素 $L_{\beta,\chi_\alpha}$ を構成する。
• 恒等写像 $\text{id}_6$ を満たす $P_{2,-}^2 = \text{id}_6$ を満たす、置換行列 $P_{2,-}$ を通じて定義される非自明な対称作用素 $\tilde{P}_{2,-}$ を特定する。
• 対称性を用いて転送作用素を縮小し、$P_{2,-}L^+_{\beta,\chi_\alpha}$ を得る。この作用素の固有関数は、対合 $J_{2,-}$ に関して偶数または奇数のマース形式に対応する。
• 自己同型 $J_{2,-}$ の作用の下でのマース形式の周期関数の関数方程式を導出し、変換を記述する行列 $Q_{2,-}$ を得る。
• 表現 $\rho_{\chi_\alpha}$ と可換であることを示すために、$P_{2,-} = \rho_{\chi_\alpha}(S) Q_{2,-}$ を定義する。ここで $S$ と $T$ は $\Gamma_0(4)$ の生成元を表す。
• サルナックとフィリップスの結果を用いて、$\lambda = -1$ の固有関数に関連する零点が特徴的変形の下でも臨界線上に留まることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Gamma_0(N)$ の転送作用素の対称性は、セリンブゼータ関数の因数分解にどのように寄与するか？
• RQ2 マース波動関数の自己同型と、$\Gamma_0(N)$ の転送作用素の対称性の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 特徴 $\chi_\alpha$ を持つ $\Gamma_0(4)$ のセリンブゼータ関数の零点は、$\alpha$ の変形の下でも臨界線上に留まるか？
• RQ4 縮小された転送作用素の固有値 $\lambda = \pm 1$ は、対合 $J_{2,-}$ に関するマース形式の偶奇性とどのように関係するか？

主な発見

• 特徴 $\chi_\alpha$ を持つ $Γ_0(4)$ の転送作用素は、置換行列 $P_{2,-}$ を通じて定義される非自明な対称作用素 $\tilde{P}_{2,-}$ を持つ。この $P_{2,-}$ は $P_{2,-}^2 = \text{id}_6$ を満たし、群生成元の表現 $\rho_{\chi_\alpha}$ と可換である。
• 固有値 $\lambda = \pm 1$ を持つ縮小された転送作用素 $P_{2,-}L^+_{\beta,\chi_\alpha}$ の固有関数は、それぞれ対合 $J_{2,-}$ に関して偶数または奇数のマース形式に対応する。
• $\lambda = -1$ の固有関数に関連するセリンブゼータ関数の零点は、すべての $\alpha$ に対して臨界線 $\Re(\beta) = 1/2$ 上に留まる。これは、サルナックとフィリップスによる奇数マース尖点形式の特徴的変形に関する結果によって確立されている。
• 数値的証拠により、$\lambda = +1$ の固有関数に関連する零点は $\alpha > 0$ のとき臨界線から離れることが示唆されるが、本稿ではこれを証明していない。
• $P_{2,-}$ は明示的に $6 \times 6$ の置換行列として計算され、置換 $\lambda_{2,-} \circ \sigma \circ \delta = (1\ 4)(2\ 6)(3\ 5)$ に対応する。また、$\chi_\alpha(\eta_3) = \chi_\alpha(\eta_5)^{-1} = e^{-2\pi i \alpha}$ が成り立つ。
• 周期関数 $\psi_{\lambda,\pm,j}$ の関数方程式は、変換 $J_{-}\psi_j(\zeta) = \zeta^{-2\beta} \chi_\alpha(\eta_{\sigma \circ \delta(j)}) \psi_{\lambda,\pm, \sigma \circ \delta(j)}(1/\zeta)$ を導く。この関係が、対称性構造の根幹をなす。