[論文レビュー] Symmetry adaptation in quantum chemistry calculations on a quantum computer

Ilya G. Ryabinkin, Scott N. Genin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、粒子数およびスピンの対称性をキュービットハミルトニアンに直接埋め込むことで、量子コンピュータ上での量子化学計算における対称性の破れを防ぐための3つの対称性適合技術——対称性射影、スペクトルシフト、スペクトル反転——を提案する。スペクトルシフト法は、不適切な対称性の状態をペナルティ化することで、エネルギー準位を上位にシフトさせるものであり、粒子数適合において元のハミルトニアンと同等の演算子長を維持する点で最も効率が良く、計算コストの観点からも他の手法を上回る。

ABSTRACT

Quantum chemistry calculations on a quantum computer frequently suffer from symmetry breaking: the situation when a state of assumed spin and number of electrons is contaminated with contributions of undesired symmetry. The situation may even culminate in convergence to a state of completely unexpected symmetry, e.g. that of for a neutral species while a cation was expected. Previously, the constrained variational quantum eigensolver (CVQE) approach was proposed to alleviate this problem [Ryabinkin et al. (2018), J. Chem. Theory Comput. DOI:10.1021/acs.jctc.8b00943] here we analyze alternative, more robust solutions. In particular, we investigate how symmetry information can be incorporated directly into qubit Hamiltonians. We identify three essentially different techniques, the symmetry projection, spectral shift, and spectral reflection methods, which are all capable of solving the problem albeit at different computational cost, measured as the length of the resulting qubit operators. On the examples of LiH and H$_2$O molecules we show that the spectral shift method, which is equivalent to penalizing states of wrong symmetry, is the most efficient, followed by spectral reflection, and symmetry projection.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータ上での変分量子固有状態計算（VQE）において、電子数やスピンの対称性が正しくない状態が誤って得られる問題に対処すること。
• 粒子数やスピンといった正確な対称性を、キュービットハミルトニアンに直接埋め込むことで、物理的に意味のある状態への収束を保証する手法を開発すること。
• 対称性適合ハミルトニアンの計算コストを、得られるキュービット演算子の長さを測定することで比較すること。
• 近位量子デバイスにおける回路深さとリソースのオーバーヘッドを最小限に抑える、最も効率の良い対称性適合手法を同定すること。

提案手法

• スペクトルシフト法は、対称性演算子の二乗に比例する項（例：$\mu(\hat{N} - n)^2$）を追加することで、不適切な対称性の状態をペナルティ化し、エネルギーをスペクトルの上位にシフトさせる。
• 対称性射影法は、Löwdin射影を用いてハミルトニアンを所望の対称性部分空間に射影し、望ましくない状態からの寄与を効果的に除去する。
• スペクトル反転（Huzinaga風）法は、不適切な対称性の状態が高エネルギー正の領域に反転するようにハミルトニアンを変換し、それらをエネルギー的に不利にする。
• これらの手法はすべて、第二量子化された電子ハミルトニアンに適用され、Jordan-Wigner変換またはBravyi-Kitaev変換を用いてキュービットハミルトニアンにマッピングされる。
• 各手法の性能は、LiH や H₂O などの分子における、得られるキュービットハミルトニアンのパウリ項の数（演算子長）を比較することで評価される。
• 粒子数およびスピン対称性適合の両方を含み、特にスピンのsinglet状態のケースに注目して分析が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性情報を、量子化学シミュレーションにおける不適切な対称性の状態への収束を防ぐために、キュービットハミルトニアンに効果的に埋め込むことができるか？
• RQ2 異なる対称性適合手法は、得られる演算子長および計算コストの観点で、どのように比較できるか？
• RQ3 元のハミルトニアンと同等の演算子サイズを維持しながら、対称性制約を強制できる手法が存在するか？
• RQ4 形式的には単純なHuzinaga風スペクトル反転法が、スペクトルシフト法よりも性能が悪いのはなぜか？
• RQ5 制約付き最適化は、対称性適合ハミルトニアン構築よりも、どのような条件下でより効率的か？

主な発見

• スペクトルシフト法は、最も短いキュービット演算子を生成し、粒子数適合では元のハミルトニアンと同等の項数を維持する。これは、$\hat{N}$ 演算子が1体演算子であることに起因する。
• スピン対称性の適合においても、スペクトルシフト法は対称性射影法およびスペクトル反転法を上回るが、粒子数適合と比べて演算子長の増加が顕著に顕著になる。
• Huzinaga風スペクトル反転法は、singlet状態の射影において、スペクトルシフト法の約3倍の項数を生成するが、形式的には4体演算子構造を有する。
• 対称性射影法は常に最も長い演算子を生成し、結果として最も非効率であるため、近位量子アルゴリズムへの一般的適用には不適切である。
• スペクトルシフト法は、最小限のオーバーヘッドで効果的な対称性強制を実現するため、近位量子化学シミュレーションにおいて最も実用的な選択肢である。
• Singlet状態の計算においては、制約付き最適化アプローチ（参照文献10）が、本研究で提案された3つの対称性適合ハミルトニアン手法のいずれよりも効率的である。