[論文レビュー] Symmetry and Cauchy completion of quantaloid-enriched categories

Hans Heymans, Isar Stubbe|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Cauchy完備化モナドと対称化コモナドの間に分配則が存在する、自己対合的に豊かにされた圏であるCauchy双対的量的圏の概念を導入する。このように定義された量的圏に対して、任意の対称的圏のCauchy完備化が再び対称的であることを証明し、Lawvereの拡張非負実数の量的圏とWaltersの閉クライブルの小量的圏に対する既知の結果を統一する。

ABSTRACT

We formulate an elementary condition on an involutive quantaloid Q under which there is a distributive law from the Cauchy completion monad over the symmetrisation comonad on the category of Q-enriched categories. For such quantaloids, which we call Cauchy-bilateral quantaloids, it follows that the Cauchy completion of any symmetric Q-enriched category is again symmetric. Examples include Lawvere's quantale of non-negative real numbers and Walters' small quantaloids of closed cribles.

研究の動機と目的

• 量的圏豊かにされた圏におけるCauchy完備化が対称性を保存するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 対称的圏のCauchy完備化が再び対称的になるような、自己対合的量的圏における一般条件を同定すること。
• Lawvereの量的圏とWaltersの閉クライブルの小量的圏に対する既存の特殊な証明を、一つの圏論的枠組みで統一すること。
• Q-豊かにされた圏の圏上で、Cauchy完備化モナドと対称化コモナドの間に分配則を確立すること。
• 局所的局所的かつモジュラーな量的圏（例えば、Grothendieckトポスにおける内部関係の量的圏）が、必要な条件を満たしていることを示すこと。

提案手法

• Cauchy双対的量的圏を、Cauchy完備化モナドと対称化コモナドの間に分配則が存在する自己対合的量的圏として定義する。
• 局所のモジュラー法則を用いて、射とその逆射に関する不等式を導出し、対称的射族が重要な完備性条件を満たすことを示す。
• 小量的圏R(C,J)が、モジュラー法則と局所的分配束性を用いて条件を満たすことを検証することで、任意の小量的圏R(C,J)がCauchy双対的であることを証明する。
• GrothendieckトポスEにおける内部関係の量的圏Rel(E)が、そのモジュラー性と局所的分配束性により、強くCauchy双対的であることを示す。
• Cat_cc(Q)におけるすべての離散的対象が対称的であるとは限らない反例を構成することで、QがCauchy双対的であってもそのような性質が成り立たないことを示す。
• 対称的Q-圏の全圏への埋め込みに右随伴（対称化）が存在することを活用し、Cauchy完備化の拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己対合的量的圏Qに対して、対称的Q-圏のCauchy完備化が再び対称的になるための条件は何か？
• RQ2 Lawvereの量的圏[0,∞]とWaltersの閉クライブルの小量的圏を統一する、一つの圏論的枠組みを構築できるか？
• RQ3 Cauchy完備化モナドと対称化コモナドの間に分配則が存在することは、このような量的圏を特徴付けるか？
• RQ4 局所的局所的かつモジュラーな量的圏（例えば、R(C,J) や Rel(E)）は、必然的にCauchy双対的か？
• RQ5 対称的Q-圏と、Cauchy完備Q-圏の圏における離散的対象との関係は何か？

主な発見

• 本稿では、Cauchy完備化モナドと対称化コモナドの間に分配則が存在するという条件によって定義される、Cauchy双対的量的圏のクラスを導入する。
• 任意のCauchy双対的量的圏Qに対して、対称的Q-圏のCauchy完備化は再び対称的である。これは、BettiとWaltersの問題を一般化した設定で肯定的に解決する。
• Lawvereの量的圏（[0,∞], +, ∧, 0）はCauchy双対的であり、対称的一般化距離空間がCauchy完備化のもとでも対称的のままであることを保証する。
• Waltersの閉クライブルの小量的圏R(C,J)はCauchy双対的であるため、対称的R(C,J)-圏はCauchy完備化のもとでも保存される。
• GrothendieckトポスEにおける内部関係の量的圏Rel(E)は、そのモジュラー性と局所的分配束性により、強くCauchy双対的である。
• 反例により、QがCauchy双対的であっても、Cat_cc(Q)におけるすべての離散的対象が対称的であるとは限らないことが示され、離散性と対称性の間の違いが浮き彫りになる。