[論文レビュー] Symmetry breaking boundaries II. More structures; examples

Jürgen Fuchs, Christoph Schweigert|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 61被引用数 61

ひとこと要約

本稿は、2次元 conformal field theoryにおける対称性の破れ境界条件の分類を、自己同型型とねじれ境界ブロックを導入することで拡張し、相関関数がねじれ Ward 恒等式を満たすことを示している。各自己同型型に対して分類代数を構成し、構造定数を chiral ブロック上のトレースで与える。また、T双対性が常に一対一ではないことを示し、弦理論における非BPS境界条件を構成するための洗練された枠組みを提供する。

ABSTRACT

Various structural properties of the space of symmetry breaking boundary conditions that preserve an orbifold subalgebra are established. To each such boundary condition we associate its automorphism type. It is shown that correlation functions in the presence of such boundary conditions are expressible in terms of twisted boundary blocks which obey twisted Ward identities. The subset of boundary conditions that share the same automorphism type is controlled by a classifying algebra, whose structure constants are shown to be traces on spaces of chiral blocks. T-duality on boundary conditions is not a one-to-one map in general. These structures are illustrated in a number of examples. Several applications, including the construction of non-BPS boundary conditions in string theory, are exhibited.

研究の動機と目的

• 2次元 conformal field theoryにおいて、オルビフォールド部分代数を保存する対称性の破れ境界条件を分類すること。
• このような境界条件の自然な構造的特徴として、自己同型型の概念を導入すること。
• これらの境界条件を含む相関関数が、ねじれ Ward 恒等式を満たすねじれ境界ブロックを用いて表現可能であることを示すこと。
• 各自己同型型に対して、chiral ブロック上のトレースから得られる構造定数を有する分類代数を構成すること。
• T双対性がこれらの境界条件の文脈において果たす役割を分析し、それが一般には一対一の写像でないことを示すこと。

提案手法

• オルビフォールド群が chiral 代数に作用する様子に基づき、各境界条件に自己同型型を割り当てる。
• 対称性の破れに対応するため、標準的な境界ブロックを一般化した、ねじれ Ward 恒等式に従う変換性を有するねじれ境界ブロックを定義する。
• 全分類代数 $\mathcal{C}(\bar{\mathfrak{A}})$ の不変部分代数として、各自己同型型に対して分類代数を構成し、構造定数を chiral ブロック上のトレースで与える。
• モジュラー $S$ 行列式 $S^J_{\bar{\lambda},\bar{\rho}}$ と群論的データ（安定化部分群 $\mathcal{S}_\lambda$, $\mathcal{U}_\lambda$）を用いて、対角化行列 $\tilde{S}$ を表現し、和則を用いて正方行列であることを保証する。
• 分類代数がトーラス分割関数に依存することを分析し、T双対性が一般には単射でないことを示す。
• 具体的な例（$G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ および $G = \mathbb{Z}_4$）を用いてフレームワークを提示し、自己同型型の数が群 $C_G(G')/Z(G)$ の予測と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルビフォールド部分代数を保存する対称性の破れ境界条件の空間は、全分類代数を越えて、どのようにさらに構造化可能か？
• RQ2 自己同型型は境界条件を整理整頓する役割を果たすが、それはオルビフォールド群の作用とどのように関係するか？
• RQ3 このような境界条件を含む相関関数は、ねじれ Ward 恒等式を満たすねじれ境界ブロックを用いて記述可能か？
• RQ4 固定された自己同型型に対する分類代数は chiral ブロック構造とどのように関係し、その構造定数の意味は何か？
• RQ5 T双対性は境界条件の上での一対一写像か？また、トーラス分割関数の選択にどのように依存するか？

主な発見

• 境界条件の自己同型型は、導来不変量であり、境界条件を異なるセクターに分類する。各型はオルビフォールド群の作用に対して一意に対応する。
• 特定の自己同型型に属する境界条件を含む相関関数は、ねじれ Ward 恒等式を満たすねじれ境界ブロックを用いて表現可能である。
• 各自己同型型 $g$ に対して、$\mathcal{C}(\bar{\mathfrak{A}})$ の不変部分代数としての分類代数が存在し、構造定数は chiral ブロック上のトレースで与えられる。
• 自己同型型分類代数の構造定数は、特定のオルビフォールド群 $G$ に依存せず、自己同型 $g$ のみに依存するため、普遍的な依存関係を示している。
• 境界条件における T双対性は一般には一対一の写像ではない。異なる境界条件が同じ T双対分割関数を与えることがある。
• 具体的な例（$G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ および $G = \mathbb{Z}_4$）において、自己同型型ごとの境界条件の数が群 $C_G(G')/Z(G)$ の予測と一致し、一般枠組みとの整合性が確認された。