[論文レビュー] Symmetry breaking in de Sitter: a stochastic effective theory approach

Gianrocco Lazzari, Tomislav Prokopec|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 65被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、de Sitter空間におけるO(N)対称性を持つスカラー場理論における対称性の破れを、確率的有効場理論を用いて研究する。スタロビンスキーの確率的インフレーション形式を用いて、深紫外モードが凝集体を形成できないことを証明し、相転移を禁じる凸有効ポテンシャルが得られる。数値的結果からは、結合定数にやわらかい依存性と、幾何学への正のバックレアクションが示された。

ABSTRACT

We consider phase transitions on (eternal) de Sitter in an O(N) symmetric scalar field theory. Making use of Starobinsky's stochastic inflation we prove that deep infrared scalar modes cannot form a condensate -- and hence they see an effective potential that allows no phase transition. We show that by proving convexity of the effective potential that governs deep infrared field fluctuations both at the origin as well as at arbitrary values of the field. Next, we present numerical plots of the scalar field probability distribution function (PDF) and the corresponding effective potential for several values of the coupling constant at the asymptotic future timelike infinity of de Sitter. For small field values the effective potential has an approximately quadratic form, corresponding to a positive mass term, such that the corresponding PDF is approximately Gaussian. However, the curvature of the effective potential shows qualitatively different (typically much softer) behavior on the coupling constant than that implied by the Starobinsky-Yokoyama procedure. For large field values, the effective potential as expected reduces to the tree level potential plus a positive correction that only weakly (logarithmically) depends on the background field. Finally, we calculate the backreaction of fluctuations on the background geometry and show that it is positive.

研究の動機と目的

• de Sitter空間におけるO(N)対称性の破れを予測する摂動論的・平均場的手法の不一致を解消すること。
• 確率的インフレーションを用いて、de Sitter空間における深紫外スカラー揺らぎの非摂動的有効理論を構築すること。
• 深紫外モードが凝集体を形成し、それによって自発的対称性の破れを引き起こすかどうかを特定すること。
• de Sitter空間における遅い時刻におけるスカラー場の有効ポテンシャルと確率密度関数（PDF）を計算すること。
• 量子揺らぎがバックグラウンドde Sitter幾何に与えるバックレアクションを評価すること。

提案手法

• 量子深紫外ダイナミクスを古典的Fokker-Planck方程式に写像するため、スタロビンスキーの確率的インフレーション形式を用いる。この方程式はスカラー場のPDFの時間発展を記述する。
• Fokker-Planck方程式を導出：∂ₜρ = (1/(3H)) ∂ₚ(V′ρ) + (H³/(8π²)) ∂ₚ²ρ。この方程式は、場のPDFの時間発展を支配する。
• 有効ポテンシャルが原点および任意の場の値において厳密に凸であることを証明し、自発的対称性の破れが起こらないことを保証する。
• 大Nおよび大j近似を用いて、分配関数Z(j)を評価し、逐次超幾何関数の漸近展開を用いる。
• モードの和を積分に置き換えるために、鞍点近似を適用し、大場の極限における有効ポテンシャルを計算する。
• ベッセル関数およびガンマ関数の恒等式を用いて、大場領域における有効ポテンシャルの漸近的形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Sitter空間におけるO(N)対称性を持つ理論の深紫外スカラーモードは、O(N)対称性を破る凝集体を形成できるか？
• RQ2 深紫外揺らぎを支配する有効ポテンシャルは凸のままであり、相転移を禁じるか？
• RQ3 有効ポテンシャルの曲率は結合定数にどのように依存するか？スタロビンスキー＝ヨコヤマ手順の予測とは異なるか？
• RQ4 de Sitter空間における遅い時刻におけるスカラー場のPDFの形状は何か？結合定数の強さに応じてどのように変化するか？
• RQ5 量子揺らぎはde Sitterバックグラウンド幾何にどのようなバックレアクションを及ぼすか？

主な発見

• 有効ポテンシャルは原点および任意の場の値において厳密に凸であり、凝集体が形成されないことが証明され、したがって相転移は発生しない。
• 小さな場の値では、有効ポテンシャルは正の質量項を伴う概ね二次関数的であり、ガウス型のPDFを示す。
• 有効ポテンシャルの曲率は、スタロビンスキー＝ヨコヤマ手順の予測よりも、定性的にやや柔らかい結合定数依存性を示す。
• 大きな場の値では、有効ポテンシャルは木レベルのポテンシャルに、背景場に弱く依存する対数補正項を加えた形に漸近的に近づく。
• 揺らぎによるバックレアクションは正であることが判明し、古典的エネルギー密度の寄与を示している。
• 大場極限における有効ポテンシャルの漸近的表現として、V_eff(φ_b) ≈ (3H⁴/8π²)[ζ(φ_b⁴ - 2φ_b² + 1/2) + (1/2)ln(3πζφ_b²/2) + ln(I_{1/4}(ζ/2) + I_{-1/4}(ζ/2))] が得られ、φ_b ≫ 1 に対して有効である。