[論文レビュー] Symmetry Breaking in the Congest Model: Time- and Message-Efficient Algorithms for Ruling Sets

Shreyas Pai, Gopal Pandurangan+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、コンゲストモデルにおけるルーリングセットのための、初めての時間的・メッセージ効率の良いアルゴリズムを提示する。2-および3-ルーリングセットにおいて、長年にわたり存在していたO(log n)ラウンドの複雑さの壁を打ち破った。3-ルーリングセットではO(log n / log log n)ラウンドを達成し、2-ルーリングセットでは特定の次数条件のもとでo(log n)ラウンドを達成した。また、メッセージ数はO(n log²n)に抑えられ、これはほぼ線形であり、LubyのO(m)メッセージの境界を著しく改善した。

ABSTRACT

We study local symmetry breaking problems in the Congest model, focusing on ruling set problems, which generalize the fundamental Maximal Independent Set (MIS) problem. The time (round) complexity of MIS (and ruling sets) have attracted much attention in the Local model. Indeed, recent results (Barenboim et al., FOCS 2012, Ghaffari SODA 2016) for the MIS problem have tried to break the long-standing O(log n)-round "barrier" achieved by Luby's algorithm, but these yield o(log n)-round complexity only when the maximum degree Delta is somewhat small relative to n. More importantly, these results apply only in the Local model. In fact, the best known time bound in the Congest model is still O(log n) (via Luby's algorithm) even for moderately small Delta (i.e., for Delta = Omega(log n) and Delta = o(n)). Furthermore, message complexity has been largely ignored in the context of local symmetry breaking. Luby's algorithm takes O(m) messages on m-edge graphs and this is the best known bound with respect to messages. Our work is motivated by the following central question: can we break the Theta(log n) time complexity barrier and the Theta(m) message complexity barrier in the Congest model for MIS or closely-related symmetry breaking problems? This paper presents progress towards this question for the distributed ruling set problem in the Congest model. A beta-ruling set is an independent set such that every node in the graph is at most beta hops from a node in the independent set. We present the following results: - Time Complexity: We show that we can break the O(log n) "barrier" for 2- and 3-ruling sets. We compute 3-ruling sets in O(log n/log log n) rounds with high probability (whp). More generally we show that 2-ruling sets can be computed in O(log Delta (log n)^(1/2 + epsilon) + log n/log log n) rounds for any epsilon > 0, which is o(log n) for a wide range of Delta values (e.g., Delta = 2^(log n)^(1/2-epsilon)). These are the first 2- and 3-ruling set algorithms to improve over the O(log n)-round complexity of Luby's algorithm in the Congest model. - Message Complexity: We show an Omega(n^2) lower bound on the message complexity of computing an MIS (i.e., 1-ruling set) which holds also for randomized algorithms and present a contrast to this by showing a randomized algorithm for 2-ruling sets that, whp, uses only O(n log^2 n) messages and runs in O(Delta log n) rounds. This is the first message-efficient algorithm known for ruling sets, which has message complexity nearly linear in n (which is optimal up to a polylogarithmic factor).

研究の動機と目的

• コンゲストモデルにおける対称性の打破アルゴリズムに、時間的・メッセージ的効率の欠如を解決すること。特に、最大独立集合（MIS）および関連問題に焦点を当てる。
• Lubyのアルゴリズムがコンゲストモデルにおけるルーリングセットで長年O(log n)ラウンドの複雑さの壁を築いてきたが、これを打ち破ること。これは、ローカルモデルにおける進展にもかかわらず、進展を制限している。
• メッセージ効率の良いアルゴリズムを開発すること。過去の研究ではメッセージの複雑さがほとんど無視されてきたが、Lubyのアルゴリズムはm本の辺を持つグラフでO(m)メッセージを用いる。
• 2-ルーリングセットに対して、近似的に最適なO(n log²n)のメッセージ複雑さを確立すること。これはO(m)の境界を著しく改善する。
• コンゲストモデルにおけるルーリングセットの時間的・メッセージ的複雑さのトレードオフを特定すること。特に2-ルーリングセットにおいては、O(polylog n)ラウンドとO(n polylog n)メッセージを達成できるかを検討する。

提案手法

• O(log n / log log n)ラウンドで高確率（whp）に実行される、3-ルーリングセットのための確率的分散アルゴリズムを設計。新規のサンプリングとプルーニング技術を用いる。
• 2-ルーリングセットのための階層的クラスタリングアプローチを導入。局所的計算とランダムサンプリングによるグローバルな調整を組み合わせ、Δの広い範囲においてO(log n)未満のラウンド複雑さを達成する。
• MISのためのΩ(n²)メッセージ複雑さの下界を示すために、ブリッジグラフ構成を用いる。確率的解析と超幾何分布を用いてブリッジエッジの発見確率を制限する。
• マーコフの不等式を適用して、実行中にブリッジエッジが発見される確率がo(1)であることを示し、解析の簡素化のための基本グラフへの還元を可能にする。
• ブリッジエッジが発見されない限り、アルゴリズムの振る舞いがブリッジグラフと基本グラフで同一であるという事実を活用し、より単純なグラフからの既知の下界を応用可能にする。
• O(n log²n)メッセージを用い、O(Δ log n)ラウンドで実行される確率的2-ルーリングセットアルゴリズムを構築。これにより、ほぼ線形のメッセージ複雑さと、低次数グラフでは非対数的時間の達成が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローカルモデルにおける進展にもかかわらず、コンゲストモデルにおけるルーリングセットのO(log n)ラウンド複雑さの壁を打ち破ることは可能か？
• RQ2 コンゲストモデルにおいて、Δの広い範囲の値に対して、2-ルーリングセットのアルゴリズムがo(log n)ラウンド複雑さを達成できるか？
• RQ3 コンゲストモデルにおけるルーリングセットの最適なメッセージ複雑さは何か？また、nに対してほぼ線形にできるか？
• RQ4 2-ルーリングセットにおいて、時間とメッセージのトレードオフを特定できるか？特に、O(polylog n)ラウンドとO(n polylog n)メッセージを達成できるか？
• RQ5 ローカルモデルにおけるMISの下界を、コンゲストモデルにおける2-ルーリングセットに拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、コンゲストモデルにおける3-ルーリングセットのための最初のアルゴリズムを提示し、O(log n / log log n)ラウンドを達成し、O(log n)の壁を打ち破った。
• 2-ルーリングセットでは、任意のε > 0に対して、O(log ∆ · (log n)^{1/2+ε} + log n / log log n)ラウンド複雑さを達成した。Δ = 2^{(log n)^{1/2−ε}}のとき、これは非対数的（sub-logarithmic）である。
• 高確率でO(n log²n)メッセージを用いる確率的2-ルーリングセットアルゴリズムを提示。これにより、ほぼ線形のメッセージ複雑さを達成した。
• 本稿では、コンゲストモデルでMIS（1-ルーリングセット）を計算する際、Ω(n²)のメッセージ複雑さの下界を確立した。これは確率的アルゴリズムに対しても成立する。
• 提案された2-ルーリングセットアルゴリズムの時間的・メッセージ的複雑さは、それぞれO(Δ log n)ラウンドおよびO(n log²n)メッセージであり、従来の研究に比べて顕著な改善を示した。
• 結果として、コンゲストモデルにおいて時間的・メッセージ的複雑さを同時に改善できることを示した。これは、O(log n)ラウンドとO(m)メッセージが本質的制限であるという仮定を覆すものである。