[論文レビュー] Symmetry breaking operators for strongly spherical reductive pairs and the Gross-Prasad conjecture for complex orthogonal groups

Jan Möllers|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、強いための再帰的対 $(G,H)$ に対して、正則対称性破壊作用素を構成し、球面的標準系列表現間の $H$-インターツェイティング作用素の空間を一般に張ることを証明する。複素直交群に対するグロス＝プラザド予想を確立し、明示的構成と多重度の公式を通じて、シンタニ関数空間の下界を提供する。

ABSTRACT

A real reductive pair $(G,H)$ is called strongly spherical if the homogeneous space $(G imes H)/{ m diag}(H)$ is real spherical. This geometric condition is equivalent to the representation theoretic property that ${ m dim\,Hom}_H(\pi|_H, au)<\infty$ for all smooth admissible representations $\pi$ of $G$ and $ au$ of $H$. In this paper we explicitly construct for all strongly spherical pairs $(G,H)$ intertwining operators in ${ m Hom}_H(\pi|_H, au)$ for $\pi$ and $ au$ spherical principal series representations of $G$ and $H$. These so-called extit{symmetry breaking operators} depend holomorphically on the induction parameters and we further show that they generically span the space ${ m Hom}_H(\pi|_H, au)$. In the special case of multiplicity one pairs we extend our construction to vector-valued principal series representations and obtain generic formulas for the multiplicities between arbitrary principal series. As an application, we prove the Gross-Prasad conjecture for complex orthogonal groups, and also provide lower bounds for the dimension of the space of Shintani functions.

研究の動機と目的

• 強いための再帰的対 $(G,H)$ に対して対称性破壊作用素を定義・構成すること。ここで、同次空間 $(G \times H)/{\rm diag}(H)$ は実球面的である。
• これらの作用素が誘導パラメータに関して正則的であり、球面的標準系列表現の $H$-インターツェイティング作用素の空間 ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ を一般に張ることを示すこと。
• 多重度が1の状況において、ベクトル値標準系列へ構成を拡張し、一般の多重度の公式を得ること。
• 得られた結果を用いて、複素直交群に対するグロス＝プラザド予想を証明すること。
• シンタニ関数空間の次元に対する下界を導出すること。

提案手法

• $(G \times H)/{\rm diag}(H)$ が実球面的であるという幾何的条件により、強いための再帰的対を定義し、これは $H$-インターツェイティング空間が有限次元であることと同値である。
• 群 $G$ の球面的標準系列表現 $\pi$ と群 $H$ の $μ$ に対して、${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ 内の明示的インターツェイティング作用素を構成する。
• これらの対称性破壊作用素が誘導パラメータに関して正則的であることを証明し、解析的制御を保証する。
• 表現論的技法を用いて、これらの作用素が一般に $H$-インターツェイティング写像の全空間を張ることを示す。
• 多重度が1の状況において、ベクトル値標準系列へ構成を拡張し、一般の多重度の公式を導出する。
• 結果をグロス＝プラザド予想に応用し、複素直交群に対して期待される多重度構造が成立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いための再帰的対 $(G,H)$ に対して、対称性破壊作用素が存在し、一般に明示的に構成可能か？
• RQ2 これらの作用素は、標準系列表現の誘導パラメータに関して正則的か？
• RQ3 構成された作用素は、球面的標準系列に対して一般に ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ の全空間を張るか？
• RQ4 多重度が1の状況において、ベクトル値標準系列へ構成を拡張でき、一般の多重度の公式が得られるか？
• RQ5 この枠組みは、複素直交群に対するグロス＝プラザド予想を証明できるか？

主な発見

• 本稿は、すべての強いための再帰的対 $(G,H)$ に対して正則対称性破壊作用素を構成し、球面的標準系列表現の ${\rm Hom}_H(\pi|_H, \mu)$ 内に明示的な実現を与える。
• これらの作用素は一般に $H$-インターツェイティング写像の空間を張り、一般の場合における完全性を確立する。
• 多重度が1の状況では、構成がベクトル値標準系列へ拡張され、任意の標準系列表現間の多重度に対する一般の公式が得られる。
• 著者らは、開発された枠組みを用いて、複素直交群に対するグロス＝プラザド予想を証明する。
• 本稿は、対称性破壊作用素の表現論的解析を通じて、シンタニ関数空間の次元に対する下界を確立する。