[論文レビュー] Symmetry, Defects, and Gauging of Topological Phases

Maissam Barkeshli, Parsa Bonderson+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用数 90

ひとこと要約

本稿は、2+1次元トポロジカルな物質相における対称性分数量子化および欠陥を分類する包括的な枠組みを構築する。対称性を伴うトポロジカルな相を記述するために、トポロジカル対称性群と $G$-クロスドバーニングテンソルカテゴリ $\mathcal{C}_G^\times$ を導入する。グローバル対称性とゲージ化の双対性を確立し、外部的欠陥がゲージ化によって脱confinedな準粒子に転換することを示し、新たなトポロジカルな相 $\mathcal{C}/G$ を得る。主な貢献は、任意の対称性群、任意のアリオンおよび非ユニタリ対称性を含む、アーベルおよび非アーベル相における欠陥、融合則、バーニング、モジュラーデータを統一的に分類する代数的理論の構築である。

ABSTRACT

We examine the interplay of symmetry and topological order in $2+1$ dimensional topological phases of matter. We present a definition of the topological symmetry group, which characterizes the symmetry of the emergent topological quantum numbers of a topological phase $\mathcal{C}$, and we describe its relation with the microscopic symmetry of the underlying physical system. We derive a general framework to classify symmetry fractionalization in topological phases, including phases that are non-Abelian and symmetries that permute the quasiparticle types and/or are anti-unitary. We develop a theory of extrinsic defects (fluxes) associated with elements of the symmetry group, which provides a general classification of symmetry-enriched topological phases derived from a topological phase of matter $\mathcal{C}$ with symmetry group $G$. The algebraic theory of the defects, known as a $G$-crossed braided tensor category $\mathcal{C}_{G}^{ imes}$, allows one to compute many properties, such as the number of topologically distinct types of defects associated with each group element, their fusion rules, quantum dimensions, zero modes, braiding exchange transformations, a generalized Verlinde formula for the defects, and modular transformations of the $G$-crossed extensions of topological phases. We also examine the promotion of the global symmetry to a local gauge invariance, wherein the extrinsic $G$-defects are turned into deconfined quasiparticle excitations, which results in a different topological phase $\mathcal{C}/G$. A number of instructive and/or physically relevant examples are studied in detail.

研究の動機と目的

• トポロジカルな量子数の発現的対称性を記述するトポロジカル対称性群を定義・特徴づけること。これは微視的詳細とは独立した、相 $\mathcal{C}$ 内の発現的対称性を捉える。
• 非アーベル任意onsおよび任意ons型を交換する、あるいは非ユニタリな対称性を含む、トポロジカル相における対称性分数量子化の一般分類を構築すること。
• 対称性群 $G$ の群元に関連する外部的欠陥の理論を構築し、対称性を伴うトポロジカルな相の分類を可能にすること。
• グローバル対称性とゲージ化の双対性を確立し、外部的欠陥がゲージ化された相 $\mathcal{C}/G$ において脱confinedな準粒子に転換することを示すこと。
• $G$-クロスドバーニングテンソルカテゴリを用いた体系的な代数的枠組みを提供し、欠陥の融合則、量子次元、バーニング統計、モジュラーデータを計算すること。

提案手法

• 微視的対称性とは異なる、相 $\mathcal{C}$ 内のトポロジカルな量子数の発現的対称性を特徴づけるトポロジカル対称性群を導入すること。
• 対称性群 $G$ に関連する欠陥の構造的全貌を代数的に記述するため、 $G$-クロスドバーニングテンソルカテゴリ $\mathcal{C}_G^\times$ を構築すること。融合則およびバーニングを含む。
• $G$-クロスド構造を用いて、欠陥任意onsの一般化されたヴェルリンドの公式を導出し、それらの量子次元およびトポロジカルスピンを計算すること。
• $G$-クロスド拡張のトポロジカル相におけるモジュラー $S$ および $T$ 行列を代数的に計算し、任意onsのバーニングおよびトポロジカル秩序の研究を可能にすること。
• ゲージ化手順を、外部的 $G$-欠陥が脱confinedな任意onsに転換する双対性として解釈し、新たなトポロジカル相 $\mathcal{C}/G$ を得ること。
• 非アーベル相および非ユニタリ対称性を含む具体的な例に形式的理論を適用し、その一般性と予測力の有効性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル相の発現的対称性は、微視的実装を超えて、どのように代数的に特徴づけられるか？
• RQ2 任意の対称性群を有するトポロジカル相における、対称性欠陥の融合およびバーニングを支配する完全な代数的構造は何か？
• RQ3 グローバル対称性のゲージ化は、外部的欠陥をどのように脱confinedな任意onsに変換するか？ そして、ゲージ化された相 $\mathcal{C}/G$ のトポロジカル秩序はどのようなものか？
• RQ4 $G$-クロスド拡張のトポロジカル相における欠陥任意onsの一般化されたヴェルリンドの公式は何か？
• RQ5 非ユニタリ対称性および任意ons型を交換する対称性は、対称性を伴うトポロジカル秩序の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• トポロジカル対称性群は、微視的ハミルトニアンとは独立して、トポロジカルな量子数の発現的対称性を正確に特徴づける。
• $G$-クロスドバーニングテンソルカテゴリ $\mathcal{C}_G^\times$ は、融合則、量子次元、バーニング統計を含む、すべての対称性欠陥を完全に分類する。
• 各群元に関連する位相的に異なる欠陥タイプの数は $\mathcal{C}_G^\times$ の構造によって決まり、一般化されたヴェルリンドの公式を用いて明示的に計算可能である。
• グローバル $G$-対称性のゲージ化は、外部的欠陥を脱confinedな任意onsに変換し、トポロジカル秩序が変更された新たなトポロジカル相 $\mathcal{C}/G$ を生成する。
• $G$-クロスド拡張のモジュラー $S$ および $T$ 行列は $\mathcal{C}_G^\times$ から代数的に計算可能であり、任意onsのバーニングおよびトポロジカル不変量の研究を可能にする。
• 本枠組みは、非アーベル相および任意ons型を交換する対称性、非ユニタリ対称性を含むすべての状況に一様に適用可能であり、広範な一般性を示している。