[論文レビュー] Symmetry Fractionalization in Three-Dimensional $\mathbb{Z}_2$ Topological Order and Fermionic Symmetry-Protected Phases

Meng Cheng|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Quasicrystal Structures and Properties被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、3次元 $\frac{1}{2}$-トポロジカルオーダーにおける$\frac{1}{2}$-トーリックコードのループ励起に注目し、対称性分数量子化を3次元に一般化する。対称性作用と任意 anyon およびループの関係を用いて、対称性付き$\frac{1}{2}$-トポロジカル相の分類を提案し、3次元フェルミオン的対称性保護トポロジカル（fSPT）相の分類に応用する。その結果、$\frac{1}{2}$-フェルミオンパリティ対称性下では非自明な$\frac{1}{2}$ fSPT相は存在しないことが示され、一方で$\frac{1}{2}^2=1$時間反転不変 fSPT相の構成法を提案する。

ABSTRACT

In two-dimensional topological phases, quasiparticle excitations can carry fractional symmetry quantum numbers. We generalize this notion of symmetry fractionalization to three-dimensional topological phases, in particular to loop excitations, and propose a partial classification for symmetry-enriched $\mathbb{Z}_2$ toric code phase. We apply the results to the classification of fermionic symmetry-protected topological phases in three dimensions.

研究の動機と目的

• 2次元の点状任意onsから3次元トポロジカル相におけるループ状励起へ、対称性分数量子化の概念を拡張すること。
• 点状任意onsとループ状励起の両方を考慮し、3次元における$\tfrac{1}{2}$トーリックコードの対称性付きの$\tfrac{1}{2}$トポロジカル相の部分的分類を構築すること。
• このフレームワークを3次元フェルミオン的対称性保護トポロジカル（fSPT）相の分類に応用し、特に$\tfrac{1}{2}$-フェルミオンパリティおよび時間反転対称性の下で検討すること。
• Gu-WenによるfSPT相の構成を、$\tfrac{1}{2}$-フェルミオン的トーリックコードにおけるフラックスループ上の対称性分数量子化として解釈すること。
• フェルミオンが対称性の下で線形に変換される場合、3次元では非自明な$\tfrac{1}{2}$ fSPT相が存在しないという物理的根拠を提示し、$\tfrac{1}{2}^2=1$時間反転不変対称性の下で可能となる非自明な相の構成法を提案すること。

提案手法

• 2次元の対称性分数量子化形式を3次元に適応し、$\tfrac{1}{2}$トーリックコードにおける点状任意ons（$e$）とループ状励起（$m$）への局所的対称性作用を定義する。
• ウィルソン線とループ演算子の対称性下での変換性質を用いて一貫性条件を導出し、対称性分数量子化データの4次コサイクル条件を導出する。
• ループおよび任意ons演算子上の対称操作の結合則から、$\nu(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$-型コサイクル条件を導出する。
• $\tfrac{1}{2}$-フェルミオン的トーリックコード（FTC）にこのフレームワークを適用し、$e$任意onsがフェルミオンである場合、フラックスループ上の対称性分数量子化がGu-Wen構成に対応することを特定する。
• 4次コサイクル条件を用いて、非自明なfSPT相が存在するかを分析し、$\tfrac{1}{2}^2=1$時間反転対称性のような特定の対称性群では障害が消えることを示す。
• $\tfrac{1}{2}^2=1$対称性を持つ非自明なfSPT相の構成を、候補となるバルクSPT状態におけるフェルミオンパリティのゲージ化によって提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元トポロジカル相における点状任意onsからループ状励起への対称性分数量子化をどのように一般化できるか？
• RQ2 3次元の$\tfrac{1}{2}$トーリックコードにおける任意onsおよびループの両方の対称性分数量子化のための一貫性条件は何か？
• RQ3 3次元fSPT相のGu-Wen構成は、$\tfrac{1}{2}$-フェルミオン的トーリックコードにおけるフラックスループ上の対称性分数量子化として理解できるか？
• RQ4 フェルミオンがアーベル的対称性群の下で線形に変換される場合、3次元では非自明な3次元フェルミオン的SPT相が存在するか？
• RQ5 4次コサイクル条件は、対称性付き$\tfrac{1}{2}$トポロジカルオーダーの分類およびfSPT相との関係において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、3次元$\tfrac{1}{2}$トポロジカルオーダーにおける対称性分数量子化データの4次コサイクル条件を導出し、2次元の枠組みをループ励起を含む形に一般化した。
• Gu-Wenによる3次元fSPT相の構成が、$\tfrac{1}{2}$-フェルミオン的トーリックコードにおけるフラックスループ上の対称性分数量子化に対応することを示し、物理的解釈を提供した。
• 分析により、フェルミオンが対称性の下で線形に変換される場合、3次元では非自明な$\tfrac{1}{2}$ fSPT相が存在しないことが証明された。これは、この場合の4次コサイクル障害が自明であるためである。
• $\tfrac{1}{2}^2=1$時間反転不変対称性の下では、非自明なfSPT相の存在が可能であり、ゲージ化によって実現可能であると提案された。
• 本フレームワークにより、任意onsとループ励起の両方を含む3次元$\tfrac{1}{2}$トーリックコードの対称性付き相の一貫性ある分類が可能となった。これは2次元の任意onsベースの形式の拡張である。
• 本研究により、3次元における表面の対称性分数量子化クラスとバルクSPT相との直接的な関係が確立され、2次元の表面-バルク双対性を3次元のループ励起に一般化した。