[論文レビュー] Symmetry Groups and Equivalence Transformations in the Nonlinear Donnell-Mushtari-Vlasov Theory for Shallow Shells

Vassil M. Vassilev|ArXiv.org|Jun 8, 2000

Composite Structure Analysis and Optimization参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形Donnell-Mushtari-Vlasov理論における浅いシェルの大きなたわみを記述するMarguerreの方程式の点対称群を、Lie群解析を用いて確立する。Marguerreの方程式が、時間に依存しない場合および時間に依存する場合の両方において、板のvon Kármán方程式と等価であることを示し、既存の板の解を浅いシェル問題へ直接移転可能であることを可能にする。

ABSTRACT

In the case of transversely only loaded shallow shells, the nonlinear Donnell-Mushtari-Vlasov theory for large deflection of isotropic thin elastic shells leads to a system of two coupled nonlinear forth-order partial differential equations known as Marguerre's equations. This system involves two arbitrary elements -- the curvature tensor of the shell middle-surface and the function of transversal load per unit surface area. In the present note, the point symmetry groups of Marguerre's equations are established, the corresponding group classification problem being solved. It is shown that Marguerre's equations are equivalent to the von Karman equations for large deflection of plates in the time-independent case and in the time-dependent case as well. It is also observed that the same holds true in respect of the field equations for anisotropic shallow shells.

研究の動機と目的

• 非線形Donnell-Mushtari-Vlasov理論における浅いシェルのMarguerre方程式の点対称群を分類すること。
• 局所1パラメータの点変換のLie群による変換の下での、系の不変条件を特定すること。
• 浅いシェルのMarguerre方程式と板のvon Kármán方程式との同等性を確立すること。
• 時間に依存するおよび異方性浅いシェル系への同等性の拡張すること。
• 対称性分類がシェルの中間面の曲率の不変量および荷重分布に依存することを示すこと。

提案手法

• R⁴ (x¹, x², w, Φ) における局所点変換の下でのMarguerre系の不変性を解析するため、Lieの無限小技法を適用する。
• ベクトル場の延長および対称性生成子の決定方程式を用いて、系の不変条件を導出する。
• 同値変換を同定し、特に微分構造を保つ変換 (x¹,x²,w,Φ) ↦ (x¹,x²,w+f,Φ) の形のシフト変換を特定する。
• この変換を用いて、Marguerreの方程式が右辺が変更された非同次von Kármán方程式と等価であることを示す。
• 慣性項 (ρẅ) を組み込み、時間に依存する系へと拡張し、変換をそれに応じて適応する。
• 材料定数 D^{αβμν} および E^{αβμν} を一般化することで、異方性浅いシェルにこの手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 浅いシェルのMarguerre方程式の完全な点対称群は何か？
• RQ2 Marguerreの系が、スケーリング変換や他のLie群作用の下で不変となる条件は何か？
• RQ3 Marguerreの方程式と板のvon Kármán方程式との同等性はどの程度成立するか？
• RQ4 同値変換が、時間に依存しない、時間に依存する、異方性の異なる物理的状態のあらゆる領域で、系の構造をどのように保つのか？
• RQ5 Marguerreの方程式の対称性分類を、シェルの中間面の幾何的不変量で表現できるか？

主な発見

• Marguerreの方程式の対称性群は、シェルの中間面曲率の不変量 H および K と荷重関数 p に依存する。
• 時間に依存しないおよび時間に依存する両ケースにおいて、Marguerreの方程式は同値変換により板のvon Kármán方程式と等価である。
• 異方性浅いシェルに対しても同等性は成立し、変換後の系はvon Kármán構造を保ちつつ、源項が変更された形となる。
• 時間に依存するMarguerre系は、同じ変換により非同次時間に依存するvon Kármán系に写像される。
• 変換 (w ↦ w + f) は微分構造を保つ同値変換であり、解の移転を可能にする。
• 本結果により、既知のvon Kármán方程式の解を、最小限の修正で浅いシェル問題に適用する体系的な手法が提供される。