[論文レビュー] Symmetry in systems with gyroscopic forces

Mikhail P. Kharlamov|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2014

Dynamics and Control of Mechanical Systems被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、力学系における循環的積分の概念を、ジャイロスコピック力が作用する系へ一般化し、1次形式 $\mathrm{i}_v\varkappa$ が正確である場合に限り、グローバルな面積型積分が存在することを証明する。主な結果として、固定点まわりの剛体運動においてこのような積分を保存する、最も一般なジャイロスコピック力の形—$\boldsymbol{\kappa} = F\boldsymbol{\alpha} + \mathrm{grad}\,f$—が特定される。

ABSTRACT

We consider a generalization of the notion of a natural mechanical system to the case of additional forces of gyroscopic type. Such forces appear, for example, as a result of global reduction of a natural system with symmetry. We study symmetries in the systems with gyroscopic forces to find out when these systems admit a global analogue of a cyclic integral. The results are applied to the problem of the motion of a rigid body about a fixed point in potential and gyroscopic forces to find the most general form of such forces admitting the global area type integral.

研究の動機と目的

• 自然力学系における循環的積分の概念を、ジャイロスコピック力が作用する系へ拡張すること。
• このような系が $G = \langle v, w \rangle + f \circ p_M$ の形をしたグローバルな第一積分をもつための条件を特定すること。
• 固定点まわりの剛体運動における面積型積分を保存する、最も一般なジャイロスコピック力の形を同定すること。
• ポテンシャルおよびジャイロスコピック力が作用する剛体問題に結果を適用し、追加の第一積分によって可積分性が成立する条件を特定すること。

提案手法

• ジャイロスコピック力をもつ力学系を、4重組 $(M, m, \Pi, \varkappa)$ として定式化する。ここで $m$ はリーマン計量、$\Pi$ はポテンシャルエネルギー、$\varkappa$ はジャイロスコピック力を表す閉じた2次形式である。
• 全エネルギー $H = \frac{1}{2}\langle w, w \rangle + \Pi(p_M(w))$ を定義し、2次形式 $\sigma = d\theta + p_M^*\varkappa$ を用いて $TM$ 上にシンプレクティック構造を構成する。
• $(TM, \sigma)$ 上のハミルトニアンベクトル場 $X$ を用いて力学を記述し、$X$ が $Tp_M \circ X = \mathrm{id}_{TM}$ を満たすことを示す。
• リー群の対称性理論を適用する：1パラメータ群 $\Psi$ が $M$ 上に作用し、その生成子は $v$ である。その $TM$ 上への上昇 $v_T$ を考える。
• $\tilde{G}(w) = \langle v, w \rangle$ に対して $\frac{d\tilde{G}}{dt} = \mathrm{i}_v\varkappa$ が成り立つ条件を導出し、これは $\mathrm{i}_v\varkappa$ が正確である場合にのみ保存されることが示される。
• $G = \tilde{G^*} + f \circ p_M$ が保存されるのは $\mathrm{i}_v\varkappa = -df$ のときであり、これにより $\boldsymbol{\kappa} = F\boldsymbol{\alpha} + \mathrm{grad}\,f$ という重要な条件が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャイロスコピック力が作用する力学系が、自然系における運動量積分に類似したグローバルな第一積分をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 このような積分の存在は、ジャイロスコピック力形式 $\varkappa$ の幾何学的性質をどのように特徴づけるか？
• RQ3 固定点まわりの剛体運動において、面積型積分を保存する最も一般なジャイロスコピック力の形は何か？
• RQ4 系の対称性は、ポテンシャルおよびジャイロスコピック力が作用する剛体運動の可積分性にどのように影響するか？
• RQ5 ポisson括弧と追加の第一積分は、このような系のLiouville可積分性において果たす役割は何か？

主な発見

• グローバルな第一積分 $G = \langle v, w \rangle + f \circ p_M$ が存在するのは、1次形式 $\mathrm{i}_v\varkappa$ が正確である場合に限る。
• 関数 $f$ は方程式 $\mathrm{i}_v\varkappa = -df$ によって定まり、これにより $G$ の保存が保証される。
• 固定点まわりの剛体運動において、面積積分が存在するのは、ジャイロスコピック力ベクトル $\boldsymbol{\kappa}$ が $\boldsymbol{\kappa} = F\boldsymbol{\alpha} + \mathrm{grad}\,f$ を満たすときであり、ここで $F$ と $f$ はオイラー角 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ の関数である。
• 面積積分の明示的形は $G(Q, \boldsymbol{\omega}) = A_1\omega_1\alpha_1 + A_2\omega_2\alpha_2 + A_3\omega_3\alpha_3 + f(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ である。
• $\varkappa_i \equiv \text{const}$ のとき、積分は古典的形 $G = (A_1\alpha_1 + \varkappa_1)\omega_1 + (A_2\alpha_2 + \varkappa_2)\omega_2 + (A_3\alpha_3 + \varkappa_3)\omega_3$ に簡略化される。
• 追加の第一積分 $K$ が $G$ と可換である場合、系はLiouville可積分となる。これは $K$ が対称群 $\Psi$ の接写像に関して不変である場合に限り成立する。