[論文レビュー] Symmetry of Arthur parameters under Aubert involution

Ban, Dubravka|ArXiv.org|Jan 20, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、p進体F上のSO(2n+1,F)の非温度表現におけるアーベルパラメータの対称性が、オーベルト対合のもとでどのように振る舞うかを調査する。最近のジアン＝スードリ、ハリス＝テイラー、ヘニアルトの結果を用いて、ラングランズデータとAパラメータを明示的に計算することで、パラメータの2つのSL(2,C)因子を入れ替えることによる対称性が、パラメータのランクkが奇数であり、かつ誘導表現i_{G,M}(ν^αρ⊗σ)がα=1/2またはα=0で非可約である場合に限り成り立つことが示された。一方、kが偶数であるか、α=1である場合には対称性が成立せず、オーベルト対合が一般にはAパラメータの対称性を保存しないことが明らかになった。

ABSTRACT

We consider a nontempered $A$-parameter $ψ$ of $SO(2n+1, F)$ of a certain type and the base point representation $π$ in the $A$-packet of $ψ$. Let $\hatπ$ be the Aubert involution of $π$. We compute explicitly the Langlands data of $\hatπ$ and the $A$-parameter $\hatψ$ of $\hatπ$. We investigate whether $ψ$ and $\hatψ$ are symmetric. Although symmetry holds for large classes of parameters, it does not hold in general.

研究の動機と目的

• SO(2n+1,F)の非温度Aパケツトにおけるオーベルト対合が、アーベルパラメータの対称性を保存するかどうかを調査すること。
• 特定のAパラメータψに付随する基本的表現πのオーベルト双対\hat{π}のラングランズデータとAパラメータを明示的に計算すること。
• ψと\hat{ψ}が対称的である、すなわち\hat{ψ}(w,x,y) = ψ(w,y,x)となる条件を同定すること。これは、ゼレヴィンスキー対合の性質を一般化するものである。
• 特にkが偶数であるかα=1である場合に、対称性がどのように崩れるかを明らかにし、オーベルト対合が基本的表現を非基本的表現に写す場合を特定すること。

提案手法

• 研究は、ラングランズ＝アルトゥール形式主義を用いて、Aパラメータψに付随する基本的表現πのオーベルト双対\hat{π}のラングランズデータを計算する。
• ジェン＝スードリによるSO(2ℓ+1,F)の一般表現のLパラメータおよび誘導表現の構造に関する最近の結果を応用する。
• ジャケットモジュールr_{M,G}(π)とr_{M,G}(\hat{π})の解析に依拠し、誘導表現の構造とその成分を特定する。
• mに関する帰納法を用いて、\hat{π}の再帰的構造を標準モジュールL_s(δ[ν^{-m}ρ,ν^{-m+1}ρ],…,τ)の形で示す。
• πと\hat{π}のLパラメータを比較し、\hat{ψ}が形式φ⊗S_2⊗S_k ⊕ ⨁ φ_i⊗S_1⊗S_1と対称的であるかどうかを判定する。
• 誘導表現i_{G,M}(ν^αρ⊗σ)の還元性臨界点α（特にα=1/2, 0, 1）に基づく場合分けを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーベルト対合は、SO(2n+1,F)の非温度表現におけるAパラメータの対称性を保存するか、すなわち\hat{ψ}(w,x,y) = ψ(w,y,x)が成り立つか？
• RQ2 Aパラメータψ = φ⊗S_k⊗S_2 ⊕ ⨁ φ_i⊗S_1⊗S_1の下で、ψと\hat{ψ}の対称性が破綻する条件は何か？
• RQ3 誘導表現i_{G,M}(ν^αρ⊗σ)の還元性臨界点αが、オーベルト対合のもとでのAパラメータの対称性にどのように影響するか？
• RQ4 オーベルト対合による基本的表現の像は常に基本的表現か？そうでない場合、どのような条件下で破綻するか？
• RQ5 オーベルト双対\hat{π}の正確なLパラメータは何か？また、ゼレヴィンスキー対合の期待される対称形とはどのように異なるか？

主な発見

• α=1/2の場合、kが奇数であれば対称性が成立し、\hat{ψ} = φ⊗S_2⊗S_k ⊕ ⨁ φ_i⊗S_1⊗S_1となるが、kが偶数であれば対称性は破綻し、\hat{ψ} = φ⊗S_1⊗S_{k+1} ⊕ φ⊗S_1⊗S_{k-1} ⊕ ⨁ φ_i⊗S_1⊗S_1となる。
• α=0の場合、kが奇数であれば対称性が成立するが、kが偶数であれば対称性は破綻し、α=1/2の場合と同一のパラメータ構造を示す。
• α=1の場合、kの偶奇に関わらず対称性は破綻する。また、\hat{π}のLパラメータは対称形を取らず、期待される対合の性質が崩れていることが示された。
• k=2の場合、オーベルト対合は基本的表現πを、非可約で非一般的表現τに写し、これは基本的表現ではない。これにより、対合が基本的表現の性質を一般には保存しないことが示された。
• α=1の場合の\hat{π}のLパラメータは\hat{φ} = ⨁_{j=3/2}^{m+1/2} (|·|^jφ⊗S_2 ⊕ |·|^{-j}φ⊗S_2) ⊕ φ⊗S_3 ⊕ φ⊗S_1 ⊕ ⨁ φ_i⊗S_1であり、j=1/2の項が欠落しているため、対称的でない。
• k=2におけるオーベルト双対\hat{π}のAパラメータψ'はφ⊗S_3⊗S_1 ⊕ φ⊗S_1⊗S_1 ⊕ ⨁ φ_i⊗S_1⊗S_1であり、その双対\hat{ψ}'はφ⊗S_1⊗S_3 ⊕ φ⊗S_1⊗S_1 ⊕ ⨁ φ_i⊗S_1⊗S_1となる。したがって、ψ'と\hat{ψ}'は対称的であるが、ψと\hat{ψ}は対称的でない。