[論文レビュー] Symmetry of minimizers with a level surface parallel to the boundary

Giulio Ciraolo, Rolando Magnanini+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、汎関数 $\mathcal{I}_{\Omega}(v) = \int_{\Omega}[f(|Dv|) - v]\,dx$ の最小化子が境界 $\partial\Omega$ に平行な単一の等高面を持つ場合、有界領域 $\Omega$ が球であることを示している。$f$ に対して滑らかさと凸性の仮定を置き、完全非線形楕円型・放物型方程式の滑らかでない解（可視的解）に対して「動く平面法」を用いて球対称性を証明しており、最小化子が完全に径対称である必要がない前人研究の結果を拡張している。

ABSTRACT

We consider the functional $$I_Ω(v) = \int_Ω[f(|Dv|) - v] dx,$$ where $Ω$ is a bounded domain and $f$ is a convex function. Under general assumptions on $f$, G. Crasta [Cr1] has shown that if $I_Ω$ admits a minimizer in $W_0^{1,1}(Ω)$ depending only on the distance from the boundary of $Ω$, then $Ω$ must be a ball. With some restrictions on $f$, we prove that spherical symmetry can be obtained only by assuming that the minimizer has one level surface parallel to the boundary (i.e. it has only a level surface in common with the distance). We then discuss how these results extend to more general settings, in particular to functionals that are not differentiable and to solutions of fully nonlinear elliptic and parabolic equations.

研究の動機と目的

• 領域 $\Omega$ が最小化子の等高面が境界 $\partial\Omega$ に平行である場合に、どのような条件下で球であるかを特定すること。
• 最小化子が径対称（ウェブ関数）である必要があったクラスタの結果を、境界に平行な等高面が一つあるという弱い対称性仮定に緩和することで拡張すること。
• 弱い比較原理と境界点性質を満たす一般の完全非線形楕円型・放物型方程式に対して対称性結果を確立すること。
• 微分不能または退化する汎関数（例えばアイゾナル方程式に関連するもの）に対しても動く平面法を適用すること。
• 領域およびラグランジュ関数 $f$ に対して最小限の正則性仮定のもとで可視的解に対する対称性結果を一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、$f$ が凸、$C^1$ であり、特定の成長・正則性条件を満たすものと仮定して、$W^{1,\infty}_0(\Omega)$ 内の汎関数 $\mathcal{I}_{\Omega}(v) = \int_{\Omega}[f(|Dv|) - v]\,dx$ の最小化子を分析する。
• 最小化子 $u$ が $\Gamma_\delta = \{x \in \Omega : d(x) = \delta\}$ のチューブ型近傍で $C^1$-滑らかであり、かつ $\Gamma_\delta$ 上で定数 $c > 0$ に等しいと仮定する。
• 証明は動く平面法に依拠しており、関連するPDEの十分な正則性を保証するため、$f''$ が $s > \sigma$ で正であり、H\
• この汎関数は可視的解における完全非線形PDE $F(u, Du, D^2u) = 0$ と関連しており、弱い比較原理（WCP）、強い比較原理（SCP）、境界点性質（BPP）を用いた比較原理により対称性が導かれる。
• 時間依存解 $u(x,t)$ が $u_t - F(u, Du, D^2u) = 0$ を満たし、ディリクレ境界条件を満たすものとして放物型方程式へ拡張する。
• 対称性の結論は、$F$ が反射に関して不変（IR）であることと、比較原理を用いることで、$t^*$ において $\Gamma_\delta$ 上で定数である等高面が存在する場合に、$\Omega$ が球であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小化子の等高面が境界に平行であるという条件が、領域 $\Omega$ が球であることを示すために、どのような条件下で成立するか。
• RQ2 最小化子が径対称でないが、境界に平行な等高面が一つだけ存在する場合に、対称性の結果を拡張できるか。
• RQ3 アイゾナル方程式に関連するような微分不能または退化する汎関数に対しても、動く平面法をどの程度まで適用できるか。
• RQ4 WCP、SCP、BPP といった比較原理と、IR（反射不変性）が一般非線形PDEにおける対称性の結論をどのように可能にするか。
• RQ5 空間時間内に定常的な等高面を持つ放物型方程式に対しても、対称性の結果を拡張できるか。

主な発見

• 最小化子 $u$ が $\Gamma_\delta$ の近傍で $C^1$-滑らかであり、$\Gamma_\delta$ 上で定数である場合、$u$ の径対称性を仮定しなくても、$\Omega$ は球でなければならない。
• 最小限の仮定のもとで成立：$f$ は凸、$C^1$、非減少、$f(0) = 0$、$s \to \infty$ のとき $f(s)/s \to \infty$ を満たし、$s > \sigma \geq 0$ で $f'' > 0$ かつ $C^{2,\alpha}$、$[0,\sigma]$ 上で $f'$ が消える。
• 反射不変性（IR）、$\Omega$ における弱い比較原理（WCP）、$\Gamma_\delta$ の近傍における強い比較原理（SCP）および境界点性質（BPP）を満たす完全非線形楕円型方程式 $F(u, Du, D^2u) = 0$ の可視的解に対して、動く平面法を適用でき、その結果 $\Omega$ が球であることが導かれる。
• 放物型方程式 $u_t - F(u, Du, D^2u) = 0$ に対しても、ある $t^* \in (0,T)$ で $u = c$ が $\Gamma_\delta \times \{t^*\}$ 上に成り立つならば、同じ構造的仮定のもとで $\Omega$ は球でなければならない。
• 非微分可能関数 $f$ に対しても、定理3.6で示されるように、複素数値アイゾナル解に関連する非滑らかラグランジュ関数に対応する方法の適応により、結果は拡張可能である。
• 対称性の結論は頑健である：$\partial\Omega$ が滑らかでなくても、$\Gamma_\delta$ が $C^1$ であり、内部球条件を満たしていれば成立する。