[論文レビュー] Symmetry protected topological orders and the cohomology class of their symmetry group

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Quantum many-body systems被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、d次元空間における相互作用を考慮したボソン的対称性保護型トポロジカル（SPT）相が、群 G に関する G-加群 U_T(1) 上のボレル (1+d)-群コホモロジー類 H^{1+d}[G, U_T(1)] によって分類されることを提案している。異なる SPT 相がこのコホモロジー群の要素に対応することを確立し、さらにハミルトニアンの対称性 G_H と基底状態の対称性 G_Ψ を区別する三重組 (G_H, G_Ψ, H^{1+d}[G_Ψ, U_T(1)]) を用いて、対称性を破る短距離相関のある状態を含めた分類を拡張している。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases are gapped short-range-entangled quantum phases with a symmetry G. They can all be smoothly connected to the same trivial product state if we break the symmetry. The Haldane phase of spin-1 chain is the first example of SPT phase which is protected by SO(3) spin rotation symmetry. The topological insulator is another exam- ple of SPT phase which is protected by U(1) and time reversal symmetries. It has been shown that free fermion SPT phases can be systematically described by the K-theory. In this paper, we show that interacting bosonic SPT phases can be systematically described by group cohomology theory: distinct d-dimensional bosonic SPT phases with on-site symmetry G (which may contain anti-unitary time reversal symmetry) can be labeled by the elements in H^{1+d}[G, U_T(1)] - the Borel (1 + d)-group-cohomology classes of G over the G-module U_T(1). The boundary excitations of the non-trivial SPT phases are gapless or degenerate. Even more generally, we find that the different bosonic symmetry breaking short-range-entangled phases are labeled by the following three mathematical objects: (G_H, G_{\Psi}, H^{1+d}[G_{\Psi}, U_T(1)], where G_H is the symmetry group of the Hamiltonian and G_{\Psi} the symmetry group of the ground states.

研究の動機と目的

• 局所対称性 G を持つ相互作用を考慮したボソン的対称性保護型トポロジカル（SPT）相を、d 次元空間において体系的に分類すること。特に、非ユニタリな時間反転対称性を含む場合も含む。
• 自由フェルミオン SPT 相（従来 K-理論によって記述）と相互作用を考慮したボソン的 SPT 相を統一する数学的枠組みを確立すること。
• ハミルトニアンと基底状態の対称性を区別することで、対称性を破る短距離相関のある状態を含めた分類を拡張すること。
• 非自明な SPT 相においてはがいがくまたは degenerate 境界モードが生じる物理的起源を、群コホモロジーを用いて説明すること。

提案手法

• 本稿では、d 次元ボソン的 SPT 相の分類に群コホモロジー理論を用い、分類は H^{1+d}[G, U_T(1)] で与えられる。ここで G は局所対称性群である。
• ユニタリおよび非ユニタリな対称性（時間反転を含む）を扱うために、G-加群 U_T(1) を導入している。
• 系のヒルベルト空間上での対称性群 G の射影的表現を分析することで、分類が導かれる。
• ハミルトニアンの対称性群 G_H と基底状態の対称性群 G_Ψ を区別することで、対称性を破る相のより洗練された分類が可能になる。
• 非自明なコホモロジー類に由来するため、非自明な SPT 相はがいがくまたは degenerate 境界モードを必然的に持つ。
• 自由フェルミオンの結果（K-理論）を相互作用を考慮したボソン系に一般化し、SPT 順序を統一的に記述する枠組みを提供している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d 次元空間における局所対称性 G を持つ相互作用を考慮したボソン的 SPT 相を、どのように体系的に分類できるか？
• RQ2 特に H^{1+d}[G, U_T(1)] という群コホモロジーが、これらの相のトポロジカル秩序を特徴づける役割を果たすのはなぜか？
• RQ3 時間反転を含む非ユニタリな対称性（例えば時間反転）が、SPT 相の分類に与える影響は何か？
• RQ4 短距離相関のある状態において、ハミルトニアンの対称性（G_H）と基底状態の対称性（G_Ψ）の関係は何か？
• RQ5 非自明な SPT 相がなぜがいがくまたは degenerate 境界励起を必然的に持つのか？

主な発見

• d 次元空間における相互作用を考慮したボソン的 SPT 相は、局所対称性群 G に関するボレル (1+d)-群コホモロジー類 H^{1+d}[G, U_T(1)] によって分類される。
• 分類はユニタリおよび非ユニタリな対称性を含み、U_T(1) は時間反転および U(1) 対称性を符号化する G-加群として機能する。
• 非自明な SPT 相（非自明なコホモロジー類によってラベル付けされる）は、がいがくまたは degenerate 境界モードを必然的に持つ。
• 三重組 (G_H, G_Ψ, H^{1+d}[G_Ψ, U_T(1)]) を用いることで、対称性を破る短距離相関のある状態への一般化が可能となり、ハミルトニアンと基底状態の対称性を区別できる。
• K-理論で従来分類されていた自由フェルミオンを越えて、強く相関するボソン系を含む SPT 順序の統一的記述を提供している。
• ハルデーン相やトポロジカル絶縁体は、この一般コホモロジー分類の特別な場合であり、それぞれの対称性（SO(3) および U(1)×Z_2^T）がそのコホモロジー類を決定する。