[論文レビュー] Symmetry reductions of a nonlinear option pricing model

Ljudmila A. Bordag|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、大規模なトレーダーのヘッジ戦略が基礎資産価格に影響を与える、流動性欠如効果をモデル化する非線形ブラック・ショールズ方程式にリー群の対称性解析を適用する。特にλ(S) = ωSの場合の特定のパrameter条件において、PDEをODEに簡約し、線形ブラック・ショールズモデルに存在しない新しい族の正確な不変解を導出する。非線形性のため、ρ → 0 の極限で解が発散する。

ABSTRACT

The studied model was suggested to design a perfect hedging strategy for a large trader. In this case the implementation of a hedging strategy affects the price of the underlying security. The feedback-effect leads to a nonlinear version of the Black-Scholes partial differential equation. Using the Lie group theory we reduce the partial differential equation in special cases to ordinary differential equations. The found Lie group of the model equation gives rise to invariant solutions. Families of exact invariant solutions for special values of parameters are described.

研究の動機と目的

• 流動性欠如効果に起因する非線形偏微分方程式（PDE）の解析、特に大規模トレーダーのヘッジ戦略が基礎資産価格に与える影響を対象とする。
• リー群理論を用いて、特殊なパrameterケースにおける非線形PDEを常微分方程式（ODE）に簡約する。
• モデル方程式の正確な不変解を分類・構成する。特にλ(S) = ωSの場合を対象とする。
• これらの解の挙動、特に特異点および漸近的性質を調査する。
• 導出された解が対称変換の下で一意であり、線形ブラック・ショールズの場合には存在しないことを示す。

提案手法

• 非線形PDE（1.1）のリー点対称性解析を用い、対称性代数を同定し、無限小生成子ξ(S,t,u)、τ(S,t,u)、φ(S,t,u)を特定する。
• ベクトル場の2階までの延長を計算し、jet空間M^(2)への対称性作用を拡張することで、PDEの微分不変量の解析を可能にする。
• λ(S) = ωS（すなわちk=1）の場合、2つの関数的に独立な不変量が得られ、PDEがODEの系に簡約可能となる。
• 簡約されたODEは特異点と解の挙動について解析され、三角関数および双曲線関数による明示的なパラメトリック解が得られる。
• 第一積分法を用いて解を構成し、簡約されたODEに代入することで検証する。
• q=4（同値にa=σ²/8）の場合の完全な不変解の集合が導出され、log S、t、逆三角関数・双曲線関数を用いたu(S,t)の明示的公式が提示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のλ(S)に対して、非線形オプションプライシングPDE（1.1）に存在するリー群の対称性は何か？
• RQ2 どの特定のλ(S)の形に対して、対称性簡約によってPDEがODEに簡約可能か？
• RQ3 簡約されたODEの正確な不変解は何か？また、特異点付近での挙動は？
• RQ4 線形ブラック・ショールズ方程式の解とはどのように異なり、特にρ→0の極限でどうなるか？
• RQ5 導出された解は対称変換の下で一意的か？定義域は何か？

主な発見

• λ(S) = ωSの場合、PDEは2次元の対称性代数を有し、2つの関数的に独立な不変量によりODEに簡約可能である。
• 簡約されたODEは、逆余弦関数および双曲線関数を含む完全な正確な不変解の集合を導出する。
• 3つの異なる解の族が特定された：u₁(S,t)、u₂(S,t)、および区分的定義のu₃,₁(S,t)とu₃,₂(S,t)。すべてS > 0およびt ≥ 0で定義される。
• 解u₁、u₂、u₃は、S = const × exp(−σ²t/8) の形の共通の交差曲線を示し、共通の漸近的挙動を示す。
• 解はS = (2/|c|)^(4/3) × exp(−σ²t/8) で特異的であり、ここでは解析接続が不可能である。
• ρ → 0 の極限で、式に含まれる1/ρ因子のため解が発散する。非線形性が確認され、線形ケースには存在しないことが示される。