[論文レビュー] Symmetry TFT for Subsystem Symmetry

Weiguang Cao, Qiang Jia|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2023

Mechanical and Optical Resonators被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$(3+1)$次元におけるレベル$N$の2重に分岐したBF理論を、$(2+1)$次元におけるサブシステム$\rZ_N$対称性のための対称性トポロジカル場理論（SymTFT）として提案する。$N=2$の場合、サブシステム$SL(2,\rZ_2)$対称性を用いて双対性のウェブを構築し、クラメールズ＝ヴァイナー双対性およびジョルダン＝ヴァイナー双対性を境界変換として同定し、$S$-欠陥およびねじれ欠陥を用いてサブシステム非可逆的演算子の融合則を導出する。

ABSTRACT

We generalize the idea of symmetry topological field theory (SymTFT) for subsystem symmetry. We propose the 2-foliated BF theory with level $N$ in $(3+1)$d as subsystem SymTFT for subsystem $\mathbb Z_N$ symmetry in $(2+1)$d. Focusing on $N=2$, we investigate various topological boundaries. The subsystem Kramers-Wannier and Jordan-Wigner dualities can be viewed as boundary transformations of the subsystem SymTFT and are included in a larger duality web from the subsystem $SL(2,\mathbb Z_2)$ symmetry of the bulk foliated BF theory. Finally, we construct the condensation defects and twist defects of $S$-transformation in the subsystem $SL(2,\mathbb Z_2)$, from which the fusion rule of subsystem non-invertible operators can be recovered.

研究の動機と目的

• サブシステム対称性、すなわち時空全体ではなく剛体的部分多様体に作用するグローバル対称性を扱うために、対称性トポロジカル場理論（SymTFT）を一般化すること。
• $(2+1)$次元のサブシステム$\rZ_N$対称性を示す系の普遍的性質を記述する$(3+1)$次元のトポロジカル場理論を確立すること。
• クラメールズ＝ヴァイナー双対性やジョルダン＝ヴァイナー双対性といったサブシステム双対性変換を、サブシステム$SL(2,\rZ_2)$対称性によって生成されるより大きな双対性のウェブに統合すること。
• SymTFTフレームワーク内での凝縮とねじれ欠陥を用いて、サブシステム非可逆的演算子の融合則を導出すること。

提案手法

• $(2+1)$次元のサブシステム$\rZ_N$対称性のためのバルクSymTFTとして、レベル$N$の$(3+1)$次元における2重に分岐したBF理論を構築する。
• 低次元理論のサブシステム対称性を実現する、2重に分岐したBF理論におけるトポロジカル境界を導入する。
• バルクの分岐したBF理論におけるサブシステム$SL(2,\rZ_2)$対称性を、さまざまな双対性を統合する双対性のウェブの起源として同定する。
• 双対性のウェブにおける$S$-変換の作用を記述するため、$S$-欠陥およびねじれ$S$-欠陥を定義する。
• 欠陥の分配関数とコhomological手法を用いて、サブシステム非可逆的演算子の融合則を計算する。
• $\rZ_2$の場合の融合則を抽出するために、正則化技術とホロノミー制約を適用し、ゲージ冗長性を除く。

Figure 6: The duality web between four bosonic theories $\mathfrak{T}_{\textrm{sub}},\mathfrak{T}_{xy,\textrm{sub}},\hat{\mathfrak{T}}_{\textrm{sub}},\hat{\mathfrak{T}}_{xy,\textrm{sub}}$ and four fermionic theories $\mathfrak{T}_{F,x,\textrm{sub}},\mathfrak{T}_{F,y,\textrm{sub}},\hat{\mathfrak{T}}_

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、対称性トポロジカル場理論（SymTFT）を、$(2+1)$次元の量子場理論におけるサブシステム対称性を記述するために一般化できるか？
• RQ2 2重に分岐したBF理論が、サブシステム$\rZ_N$対称性をトポロジカル境界条件として実現する役割は何か？
• RQ3 サブシステムクラメールズ＝ヴァイナー双対性およびジョルダン＝ヴァイナー双対性は、SymTFTフレームワーク内でどのように境界変換として現れるか？
• RQ4 バルクの分岐したBF理論におけるサブシステム$SL(2,\rZ_2)$対称性が生成する双対性のウェブの構造は何か？
• RQ5 SymTFTにおける欠陥構成から、サブシステム非可逆的演算子の融合則をどのように導出できるか？

主な発見

• $(3+1)$次元におけるレベル$N$の2重に分岐したBF理論は、サブシステム$\rZ_N$対称性を示す$(2+1)$次元系の普遍的SymTFTとして機能する。
• $N=2$の場合、バルク理論のサブシステム$SL(2,\rZ_2)$対称性が、クラメールズ＝ヴァイナー双対性およびジョルダン＝ヴァイナー双対性を境界変換として統合する双対性のウェブを生成する。
• サブシステム非可逆的演算子の融合則は、$S$-欠陥およびねじれ$S$-欠陥の構成から導出され、$\mathcal{N}^{\text{sub}\dagger} \times \mathcal{N}^{\text{sub}} = \sum_{w_{y,i+\frac{1}{2}}} \prod_{i=1}^{L_x} \left( \prod_{i' \leq i} U^{yz}_{0,i} \right)^{w_{y,i+\frac{1}{2}}}$を満たす。
• 融合則の計算は、$H^0_{\text{sub}}(M_3^{[0,\epsilon]}, M_{2|0} \cup M_{2|\epsilon}, \mathbb{Z}_2)$というコhomologicalデータに依存しており、これは自明であるため、融合則が適切に定義されていることが保証される。
• 導出結果は、双対性のウェブの整合性を確認しており、サブシステム非可逆的対称性が、バルクにおける$S$-変換から自然に生じることを示している。
• $S$-欠陥の構成により、トポロジカル欠陥分配関数から融合則を回復でき、双対性構造の場理論的実現が達成される。