[論文レビュー] Symplectic Actions and Central Extensions

Andrew Beckett, José Figueroa-O’Farrill|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2022

Advanced Algebra and Geometry被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、連結なリー群 $G$ の単連結なシンプレクティック同次空間 $(M,\omega)$ が、$G$ の1次元中心拡大における余随伴軌道の普遍被覆に微分同相であることを確立する。また、リー代数の2次コホモロジー・コサイクルがシンプレクティック群コサイクルに統合可能であることは、対応する中心拡大がリー代数からリー群に統合可能であることと同値であることを証明し、シンプレクティックコサイクルとモーメント写像を通じて、シンプレクティック幾何、リー群コホモロジー、および幾何的量子化を結びつける。

ABSTRACT

We give a proof of the fact that a simply-connected symplectic homogeneous space $(M,ω)$ of a connected Lie group $G$ is the universal cover of a coadjoint orbit of a one-dimensional central extension of $G$. We emphasise the rôle of symplectic group cocycles and the relationship between such cocycles, left-invariant presymplectic structures on $G$ and central extensions of $G$; in particular, we show that integrability of a central extension of $\mathfrak{g}$ to a central extension of $G$ is equivalent to integrability of a representative Chevalley-Eilenberg 2-cocycle of $\mathfrak{g}$ to a symplectic cocycle of $G$.

研究の動機と目的

• 単連結なシンプレクティック同次 $G$-空間と $G$ の1次元中心拡大の余随伴軌道の間の明確な対応関係を確立すること。
• シンプレクティック群コサイクル、$G$ 上の左不変なプレシンプレクティック構造、および $G$ の中心拡大の関係を明確にすること。
• リー代数 $\mathfrak{g}$ のChevalley–Eilenberg 2次コサイクルが、$G$ のシンプレクティックコサイクルに統合可能であるための条件を証明すること。
• 幾何的モーメント写像の概念を、リー群およびリー代数コホモロジーの代数的構造と統合すること。

提案手法

• 単連結な場合に、$M$ における $G$-不変なシンプレクティック作用が、$\mathfrak{g}^*$ 内の余随伴軌道と関係づけられるモーメント写像の構成を用いる。
• シンプレクティック群コサイクルを $H^2(G;\mathbb{R})$ の代表元として扱い、群1次コサイクルの微分により、$G$ 上の左不変プレシンプレクティック形式と関係づける。
• シンプレクティックコサイクルと中心拡大の間の対応を確立し、シンプレクティックコサイクルが $H^2(\mathfrak{g};\mathbb{R})$ 内のChevalley–Eilenberg 2次コサイクルの代表元から生じることを示す。
• ホロノミー原理を適用し、Kirillov–Kostant–Souriau 構造から、余随伴軌道上の $G$-不変シンプレクティック形式が引き下がることを示す。
• $G$ 上の左不変デ・ラーム複体を用い、$\Omega^\bullet_{\text{LI}}(G)$ を Chevalley–Eilenberg 複体 $C^\bullet(\mathfrak{g})$ と同一視することで、コホモロジー比較を可能にする。
• 幾何的に自明な中心拡大が $H^2(G;\mathbb{R})$ に一対一対応することを示し、群コホモロジーと幾何的実現可能性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単連結なシンプレクティック同次 $G$-空間が、$G$ の中心拡大の余随伴軌道の普遍被覆に微分同相であるための条件は何か？
• RQ2 シンプレクティック群コサイクルは、$G$ 上の左不変プレシンプレクティック構造とどのように関係するか？
• RQ3 リー代数の2次コサイクルがシンプレクティック群コサイクルに統合可能であるための明確なコホモロジー的条件は何か？
• RQ4 $\mathfrak{g}$ の中心拡大の統合可能性は、その関連するChevalley–Eilenberg コサイクルの統合可能性とどのように関係するか？
• RQ5 任意の単連結多様体上のシンプレクティック $G$-作用は、中心拡大上の余随伴作用として実現可能か？

主な発見

• 連結なリー群 $G$ の単連結なシンプレクティック同次空間 $(M,\omega)$ は、$G$ の1次元中心拡大における余随伴軌道の普遍被覆に微分同相である。
• $G$-不変なシンプレクティック形式が同次空間 $M$ に存在するならば、モーメント写像 $\mu: M \to \mathfrak{g}^*$ が存在し、$M$ が単連結である場合には、この写像は像上への微分同相写像である。その像は余随伴軌道である。
• $G$ 上のシンプレクティックコサイクルは、群1次コサイクルの微分として生じ、$H^2(G;\mathbb{R})$ のクラスの代表元に対応する。
• $\mathfrak{g}$ の中心拡大が $G$ に統合可能であることは、$\mathfrak{g}$ の代表的Chevalley–Eilenberg 2次コサイクルが $G$ のシンプレクティックコサイクルに統合可能であることと同値である。
• $G$ 上の左不変デ・ラーム複体は、$\mathfrak{g}$ 上のChevalley–Eilenberg 複体と同型であり、$G$ がコンパクトな場合には $H^\bullet_{\text{dR}}(G) \cong H^\bullet(\mathfrak{g};\mathbb{R})$ が成り立ち、コホモロジー比較が可能になる。
• 幾何的に自明な $G$ の中心拡大は $H^2(G;\mathbb{R})$ と一対一対応しており、コホモロジー類がそのような拡大を同値類の意味で分類していることを示している。