[論文レビュー] Symplectic and Isometric SL(2,R) invariant subbundles of the Hodge bundle

Artur Avila, Alex Eskin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、アーベル微分のストラト上におけるホッジ bundle の任意のアフィン不変部分多様体に対して、コンツェビッチ＝ゾリッチコサイクルがホッジ内積のもとで等長作用を示すフォルニ部分空間—これは、部分多様体の接空間とホッジ内積および交線形式の両方に関して直交する—が局所的に定数であり、その結果、このような部分多様体がシンプレクティックであり、それらの上でのホッジ bundle が半単純であることが示される。

ABSTRACT

Suppose N is an affine SL(2,R)-invariant submanfold of the moduli space of pairs (M,w) where M is a curve, and w is a holomorphic 1-form on M. We show that the Forni bundle of N (i.e. the maximal SL(2,R)-invariant isometric subbundle of the Hodge bundle of N) is always flat and is always orthogonal to the tangent space of N. As a corollary, it follows that the Hodge bundle of N is semisimple.

研究の動機と目的

• SL(2,R)-不変なホッジ bundle の部分束の構造を理解すること。
• フォルニ部分空間がアフィン不変部分多様体に沿って局所的に定数であり、その接空間と直交することを確立すること。
• アフィン不変部分多様体の接バンドルが交線形式に関してシンプレクティックであることを証明すること。
• 任意のアフィン不変部分多様体上でのホッジ bundle が半単純であること、すなわち、任意の平坦部分束が補完的な平坦部分束を持つことを示すこと。

提案手法

• 周期座標を用いて、アフィン不変部分多様体を $\mathbb{C}^n$ 内のアフィン部分空間としてモデル化する。
• フォルニ部分空間 $F(x)$ を、コンツェビッチ＝ゾリッチコサイクルがホッジ内積のもとで等長作用を示す最大の $SL(2,\mathbb{R})$-不変部分空間として定義する。
• ガウス＝マインの接続を適用し、モノドロミーを解析することで、$F(x)$ が部分多様体上で局所的に定数であることを示す。
• 直交分解 $H^1(M,\mathbb{R}) = F^\perp \oplus F$ を用いて、$p(T_{\mathbb{R}}(\mathcal{N}))(x)$ のシンプレクティック性を証明する。
• EMi の結果を活用し、シンプレクティックおよび直交分解技術を用いて補完的な平坦部分束を構成する。
• 局所モデルにおける正方形プッシュの議論を用い、$F(x)$ が接続によって保存されない場合に矛盾を導くことで、局所定数性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォルニ部分空間はアフィン不変部分多様体に沿って局所的に定数か？
• RQ2 アフィン不変部分多様体の接空間は交線形式に関してシンプレクティックか？
• RQ3 アフィン不変部分多様体上でのホッジ bundle は、補完的な平坦部分束への分解を持つか？
• RQ4 フォルニ部分空間は、ホッジ内積および交線形式の両方において、部分多様体の接空間と直交するか？
• RQ5 アフィン測度は、フォルニ部分空間の正則性および接バンドルのシンプレクティック構造を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• フォルニ部分空間 $F(x)$ はアフィン不変部分多様体 $\mathcal{N}$ 上で局所的に定数であり、したがってホッジ bundle の平坦部分束を定める。
• $\nu$-ほとんどすべての $x \in \mathcal{N}$ に対して、$p(T_{\mathbb{R}}(\mathcal{N}))(x)$ はホッジ内積のもとで $F(x)$ と直交する。
• $\nu$-ほとんどすべての $x \in \mathcal{N}$ に対して、$p(T_{\mathbb{R}}(\mathcal{N}))(x)$ は交線形式のもとで $F(x)$ と直交する。
• 接空間 $p(T_{\mathbb{R}}(\mathcal{N}))$ は交線形式に関して非退化であるため、$\mathcal{N}$ はシンプレクティックである。
• 任意のアフィン不変部分多様体上でのホッジ bundle は半単純であり、すなわち、任意の平坦部分束が補完的な平坦部分束を持つ。
• 主な技術的結果、定理 7.2 は、$\nu$-ほとんどすべての $x$ に対して、近くの $y$ について $y - x$ が $F^\perp(x)$ に属することを示しており、$F(x)$ の局所定数性を確認する。