[論文レビュー] Symplectic automorphisms of T^*S^2

Paul Seidel|ArXiv.org|Mar 19, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、境界付近で自明なユニット余接 bundle $T^*S^2$ のシンプレクティック自己同型の群が、ゼロ断面に沿った一般化されたデーンねじりによって生成される $
\mathbb{Z}$ に弱ホモトピー同値であることを証明している。主な洞察は、$S^2 \times S^2$ へのコンパactificationを用い、グロモフのシンプレクティック微分同相写像の位相とゲージ群のホモトピー論を活用して、微分同相写像群が位数2の成分しか持たないのに対し、シンプレクティック写像類群が無限順序であることを示している。

ABSTRACT

Let M be the cotangent bundle of S^2, with the standard symplectic structure. By adapting an argument of Gromov we determine the weak homotopy type of the group S of those symplectic automorphisms of M which are trivial at infinity. It turns out that S is weakly homotopy equivalent to \Z. π_0(S) is generated by the class of the standard "generalized Dehn twist". As a consequence, we show that there are different connected components of S which lie in the same connected component of the corresponding group of diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• 境界付近で自明な $T^*S^2$ のシンプレクティック自己同型の群 $\SS$ のホモトピー型を特定すること。
• 写像類群におけるシンプレクティック写像類の無限順序と、微分同相写像類の位数2の不一致を解明すること。
• $\SS$ と $\mathbb{Z}$ の間の弱ホモトピー同値性を確立し、一般化されたデーンねじりを生成子として特定すること。
• コンパクト化とゲージ理論的技法を用いて、シンプレクティック群と微分同相写像群の関係を明確にすること。

提案手法

• ユニット余接 bundle $T \subset T^*S^2$ を、標準的シンプレクティック形式を持つ $S^2 \times S^2$ にコンパクト化し、$T$ の内部を $S^2 \times S^2 \setminus \Delta$ と同一視する。ここで $\Delta$ は対角線である。
• グロモフによる $S^2 \times S^2$ のシンプレクティック微分同相写像の分類を用い、$\SS$ の位相をコンパクト化された空間のシンプレクティック自己同型群の位相と関連付ける。
• $\SS_1$, $\SS_2$, $\mathcal{D}_1$, $\mathcal{D}_2$, $\mathcal{G}^s$, $\mathcal{G}$ を含むトポロジカル群の可換図式を構成し、正確な行とホモトピー完全列を用いる。
• 正規バンドル $\nu\Delta$ 上の評価写像を用い、$\SS_2$ のホモトピー群と $\mathcal{G}^s$ のホモトピー群を関連付け、$\pi_1(\mathcal{G}^s) \cong \mathbb{Z}$ を示す。
• 点 $(x,y)$ におけるモーメント写像 $\mu(x,y) = -|x+y|$ を持つ $S^1$-作用を用いて、$S^2 \times S^2 \setminus \Delta$ 上に一般化されたデーンねじり $\tau$ を定義し、$\pi_0(\SS)$ の生成子を構成する。
• $\SS_1$ が $\{\mathrm{id}, \iota\}$ に変形再び同値であることを証明し、$J$-擬全純 foliation を用いたグロモフの議論により、$\SS_+$ がコンパクトであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $T^*S^2$ の境界付近で自明なシンプレクティック自己同型の群 $\SS$ のホモトピー型は何か？
• RQ2 一般化されたデーンねじり $\tau$ が微分同相写像群では位数2であるにもかかわらず、$\pi_0(\SS)$ で無限順序を持つのはなぜか？
• RQ3 $T^*S^2$ を $S^2 \times S^2$ にコンパクト化することで、$\pi_0(\SS)$ の計算がどのように可能になるか？
• RQ4 シンプレクティック正規バンドル自己同型のゲージ群 $\mathcal{G}^s$ は、$\SS$ のホモトピー群を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 一般化されたデーンねじりによって、$T^*S^2$ のシンプレクティック写像類群が完全に記述可能か、それ以外の生成子が存在するか？

主な発見

• 境界付近で自明な $T^*S^2$ のシンプレクティック自己同型の群 $\SS$ は、$\pi_0(\SS) \cong \mathbb{Z}$ である $
  \mathbb{Z}$ に弱ホモトピー同値である。
• ゼロ断面 $Z \subset T^*S^2$ に沿った一般化されたデーンねじり $\tau$ が $\pi_0(\SS)$ を生成し、$[\tau]$ は無限順序を有する。
• $\pi_0(\SS)$ の $\pi_0(\mathcal{D})$（微分同相写像群）への像は $
  \mathbb{Z}/2$ に同型であり、シンプレクティック構造が滑らかさ構造よりも細かい不変量を検出できることを示している。
• すべての $i > 0$ に対して高次のホモトピー群 $\pi_i(\SS)$ は消えるため、$\SS$ は離散的 $
  \mathbb{Z}$ に弱ホモトピー同値である。
• 点 $x \in \Delta$ における評価写像 $e_x: \mathcal{G}^s \to SL_2(\mathbb{R})$ は弱ホモトピー同値であるため、$\mathcal{G}^s$ は $
  \mathbb{Z}$ のホモトピー型を持つ。
• 写像 $\partial: \pi_1(\mathcal{G}^s) \to \pi_0(\SS_2)$ は同型であり、$[\tau]^2 = \partial(r)$ が成り立つ。ここで $r \in \pi_1(\mathcal{G}^s) \cong \mathbb{Z}$ は生成子である。これにより $\pi_0(\SS_2) \cong \mathbb{Z}$ が確認される。