[論文レビュー] Symplectic Banach-Mazur distances between subsets of C^n

Michael Usher|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

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ひとこと要約

この論文は、$ℂ^n$ 内の開リーマン・リュービル多様体に対して、粗いおよび細かいシンプレクティック・バナッハ＝マザール距離を導入し、フィルター付き等長的シンプレクティックホモロジーを用いてそれらを区別する。粗い距離では楕円体に収束する列であっても、細かい距離では無限に発散しうることを示し、任意の有限 $D$ に対して $ℝ^D$ の準等長埋め込みを星型領域の空間へ構成することで、シンプレクティック容量を超える豊かな幾何的複雑性を示している。

ABSTRACT

Following proposals of Ostrover and Polterovich, we introduce and study "coarse" and "fine" versions of a symplectic Banach-Mazur distance on certain open subsets of $\mathbb{C}^n$ and other open Liouville domains. The coarse version declares two such domains to be close to each other if each domain admits a Liouville embedding into a slight dilate of the other; the fine version, which is similar to the distance on subsets of cotangent bundles of surfaces recently studied by Stojisavljević and Zhang, imposes an additional requirement on the images of these embeddings that is motivated by the definition of the classical Banach-Mazur distance on convex bodies. Our first main result is that the coarse and fine distances are quite different from each other, in that there are sequences that converge coarsely to an ellipsoid but diverge to infinity with respect to the fine distance. Our other main result is that, with respect to the fine distance, the space of star-shaped domains in $\mathbb{C}^n$ admits quasi-isometric embeddings of $\mathbb{R}^D$ for every finite dimension $D$. Our constructions are obtained from a general method of constructing $(2n+2)$-dimensional Liouville domains whose boundaries have Reeb dynamics determined by certain autonomous Hamiltonian flows on a given $2n$-dimensional Liouville domain. The bounds underlying our main results are proven using filtered equivariant symplectic homology via methods from prior joint work with Gutt.

研究の動機と目的

• $ℂ^n$ 内の開リーマン・リュービル多様体に対して、古典的なバナッハ＝マザール概念をシンプレクティック幾何学へ一般化する粗いおよび細かいシンプレクティック・バナッハ＝マザール距離を定義し、それらを研究すること。
• 両者の距離の位相的および幾何的相違、特に列の収束・発散に関する関係を調査すること。
• 進んだシンプレクティック位相の道具を用いて、細かい距離が粗い距離よりも顕著に多くの構造を捉えられることを示すこと。
• 細かい距離の下で、ユークリッド空間 $ℝ^D$ の準等長埋め込みを星型領域の空間へ構成し、高次元の複雑性を明らかにすること。
• シンプレクティック容量の枠組みを、フィルター付き等長的シンプレクティックホモロジーを組み込むことで拡張し、古典的容量が許容するものより強い障害を導出すること。

提案手法

• リーマン・リュービル多様体として、負時間のフローがコンパクト部分集合へ領域を収縮させるリーマン・ベクトル場を持つ、正確なシンプレクティック多様体としての開リーマン・リュービル多様体を導入する。
• 領域のスケーリングにおけるリーマン埋め込みの存在を用いて、粗いシンプレクティック・バナッハ＝マザール距離を定義する。
• 古典的バナッハ＝マザール幾何学にインspiredされた、埋め込みの合成における整合性条件を追加することで、細かい距離を実装する。
• 界面での自己同型ハミルトニアンフローを用いて、$2n$ 次元のリーマン・リュービル多様体から $(2n+2)$ 次元の多様体を構成し、リーマン動的を制御する。
• フィルター付き等長的シンプレクティックホモロジーを適用し、非自明な持続的モジュールを検出するとともに、細かい距離の下界を導出する。
• コンリ－ゼンダー指数とスペクトル不変量を用いて、閉じたリーマン軌道を分析し、スケール間でのホモロジー階数の変化を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粗い距離と細かい距離は、特に列の収束・発散という点で、どのように位相的挙動が異なるのか？
• RQ2 細かい距離は、シンプレクティック容量や粗い距離が捉えられない幾何的複雑性を検出できるか？
• RQ3 $ℂ^n$ 内の星型領域の空間が、細かい距離の下で、高次元ユークリッド空間 $ℝ^D$ の準等長コピーをどの程度含むことができるか？
• RQ4 フィルター付き等長的シンプレクティックホモロジーは、古典的容量が失敗する状況で、シンプレクティック埋め込みの区別にどのように寄与するか？
• RQ5 ハミルトニアンフローにおける無理数パラメータは、リーマン軌道の構造とそれらに由来するホモロジー不変量にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• 粗い距離と細かい距離は位相的に異なる：列が楕円体に粗い意味で収束しても、細かい距離では無限に発散しうる。
• 任意の有限次元 $D$ に対して、$ℂ^n$ 内の星型領域の空間には、細かい距離の下で $ℝ^D$ の準等長埋め込みが存在し、内在的な幾何的複雑性が顕著である。
• 細かい距離は下界 $\delta_f((W_{H_{\vec{\zeta}}}^\circ,\hat{\lambda}),(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})) \geq \max_{1\leq m\leq D}\left(\min\left\{\frac{1}{\epsilon_{m}},\left(\frac{\zeta_{m}}{\epsilon_{m}}\right)^2\right\}\right)$ を満たす。この下界は、フィルター付き等長的シンプレクティックホモロジーにおけるスペクトル不変量から導出される。
• フィルター付き等長的シンプレクティックホモロジーは、$n$ を法として $2$ と合同なコンリ－ゼンダー指数を持つ非退化リーマン軌道を検出でき、それらがスケールに跨って持続する性質が、シンプレクティック埋め込みに対する強い障害を提供する。
• $s<t<1$ に対して、標準的写像 $CH^{s}_{2-3n}(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})\to CH^{t}_{2-3n}(W_{H_{\vec{\epsilon}}}^\circ,\hat{\lambda})$ は単射である。この性質が主な下界の導出に用いられる。
• $ϵ_m$ が無理数の場合、コンリ－ゼンダー指数 $2-3n$ で周期が $b$ 以下である単純リーマン軌道の数は正確に $m$ 個であり、この数は $m$ と共に増加する。これによりホモロジー階数を精密に制御できる。