[論文レビュー] Symplectic embeddings of 4-dimensional ellipsoids into cubes

Daan Frenkel, Dorothee Müller|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、4次元の立方体にシンプレクティックに埋め込まれる最小サイズを与える関数 $ c_{EC}(a) $ を決定する。球体への埋め込みへの還元と、McDuffおよびSchlenkの球体埋め込みに関する手法の応用により、$ a < \sigma^2 $ の場合、$ c_{EC}(a) $ はペル数によって制御される無限の段差を示すことが示され、$ a \geq 7\frac{1}{32} $ の場合、体積制約 $ \sqrt{a/2} $ と一致するが、7つの小さな区間を除いては、それらの区間で部分的に線形のままである。

ABSTRACT

Recently, McDuff and Schlenk determined the function c_{EB}(a) whose value at a is the infimum of the size of a 4-ball into which the ellipsoid E(1,a) symplectically embeds (here, a &gt;= 1 is the ratio of the area of the large axis to that of the smaller axis of the ellipsoid). In this paper we look at embeddings into four-dimensional cubes instead, and determine the function c_{EC}(a) whose value at a is the infimum of the size of a 4-cube C^{4}(A) = D^{2}(A) times D^{2}(A) into which the ellipsoid E(1,a) symplectically embeds (where D^{2}(A) denotes the disc in mathbb{R}^{2} of area A). As in the case of embeddings into balls, the structure of the graph of c_{EC}(a) is very rich: for a less than the square sigma^2 of the silver ratio sigma := 1+sqrt(2), the function c_{EC}(a) turns out to be piecewise linear, with an infinite staircase converging to (sigma^2, sqrt(sigma^2/2)). This staircase is determined by Pell numbers. On the interval [sigma^2,7+1/32], the function c_{EC}(a) coincides with the volume constraint sqrt(a/2) except on seven disjoint intervals, where c is piecewise linear. Finally, for a &gt;= 7+1/32, the functions c_{EC}(a) and sqrt(a/2) are equal. For the proof, we first translate the embedding problem E(1,a)--&gt;C^{4}(A) to a certain ball packing problem of the ball B^{4}(2A). This embedding problem is then solved by adapting the method from McDuff-Schlenk, which finds all exceptional spheres in blow-ups of the complex projective plane that provide an embedding obstruction. We also prove that the ellipsoid E(1,a) symplectically embeds into the cube C^{4}(A) if and only if E(1,a) symplectically embeds into the elllipsoid E(A,2A). Our embedding function c_{EC}(a) thus also describes the smallest dilate of E(1,2) into which E(1,a) symplectically embeds.

研究の動機と目的

• 4次元の立方体にシンプレクティックに埋め込まれる楕円体 $ E(1,a) $ の最小サイズを定義する関数 $ c_{EC}(a) $ を決定すること。
• 球体への埋め込みにとどまらないシンプレクティックな剛性の理解を、立方体への埋め込みの分析によって拡張すること。
• 特に $ a < \sigma^2 $ の場合の $ c_{EC}(a) $ の構造を特徴づけること、特にその部分的線形性と無限の段差。
• $ E(1,a) \overset{s}{\hookrightarrow} C^4(A) $ が成り立つための必要十分条件が $ E(1,a) \overset{s}{\hookrightarrow} E(A,2A) $ であることの証明により、立方体と楕円体への埋め込みの間の双対性を確立すること。

提案手法

• シンプレクティック幾何学と体積制約を活用して、$ E(1,a) \hookrightarrow C^4(A) $ のシンプレクティック埋め込み問題を $ B^4(2A) $ 内の球体パッキング問題に翻訳する。
• 球体埋め込みに用いられた、$ \mathbb{CP}^2 $ のブローダウンにおける例外的球面の手法を、立方体埋め込みの障害クラスを分析するために適応する。
• 重み展開と格子点数え上げを用いて、ブローダウンの例外的除法の配置における障害的クラス $ (d,e;m) $ を特定する。
• 計算アルゴリズムを用いて、$ a \in [6,8] $ に対して障害的クラスを体系的に列挙・検証する。特に $ k=1,\dots,7 $ に対して $ \left(6+\frac{1}{k+1}, 6+\frac{1}{k}\right) $ の区間を重点的に分析する。
• デルツァント多面体表現を用いて、シンプレクティック埋め込みをトーリック幾何とモーメント写像不変量に関連付ける。
• $ c_{EC}(a) $ が $ a \geq 7\frac{1}{32} $ の場合に体積制約 $ \sqrt{a/2} $ と一致することを検証するが、7つの不連続な区間を除いては、それらの区間で部分的に線形のままである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ c_{EC}(a) $ は、$ a \geq 1 $ から、$ E(1,a) \hookrightarrow C^4(A) $ を満たす最小の立方体サイズ $ A $ を与えるが、その正確な構造は何か？
• RQ2 関数 $ c_{EC}(a) $ は、McDuffおよびSchlenkの球体埋め込みにおけるものと同様に、無限の段差を示すか？ もしそうなら、それを制御する数列は何か？
• RQ3 $ c_{EC}(a) $ が体積制約 $ \sqrt{a/2} $ から逸脱する $ a $ の値は何か？ また、そのような区間はいくつ存在するか？
• RQ4 シンプレクティックな埋め込み $ E(1,a) \hookrightarrow C^4(A) $ と $ E(1,a) \hookrightarrow E(A,2A) $ の間に、双対性や同等性があるか？
• RQ5 球体埋め込みの場合と同様に、シンプレクティック埋め込みの障害は、$ \mathbb{CP}^2 $ のブローダウンにおける例外的球面によって完全に特徴づけられるか？

主な発見

• $ a < \sigma^2 $ の場合、$ \sigma = 1 + \sqrt{2} $ とすると、関数 $ c_{EC}(a) $ は部分的に線形であり、$ (\sigma^2, \sqrt{\sigma^2/2}) $ に収束する無限の段差を示し、その段差はペル数によって決定される。
• 区間 $ \left[\sigma^2, 7\frac{1}{32}\right] $ において、$ c_{EC}(a) $ は体積制約 $ \sqrt{a/2} $ に等しいが、7つの不連続な区間を除いては、それらの区間で部分的に線形のままである。
• $ a \geq 7\frac{1}{32} $ の場合、関数 $ c_{EC}(a) $ は体積制約 $ \sqrt{a/2} $ と完全に一致し、以降はこれ以上の障害がないことを示している。
• シンプレクティック埋め込み $ E(1,a) \hookrightarrow C^4(A) $ が成り立つための必要十分条件は、$ E(1,a) \hookrightarrow E(A,2A) $ が成り立つことである。これにより、立方体と楕円体への埋め込みの間の直接的な対応関係が確立される。
• 著者らは、アルゴリズムによる列挙により障害的クラス $ (d,e;m) $ を計算・検証し、$ a = 7\frac{1}{32} $ を超えると、これ以上の障害がないことを確認した。
• 関数 $ c_{EC}(a) $ の構造は、$ \mathbb{CP}^2 $ のブローダウンにおける例外的球面の幾何学によって完全に決定され、McDuffおよびSchlenkの手法が立方体の状況に拡張された。