[論文レビュー] Symplectic fixed points and Lagrangian intersections on weighted projective spaces

Guangcun Lu|ArXiv.org|Jan 12, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、重み付き射影空間 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ におけるハミルトニアン固定点およびラグランジュ部分多様体の交わりに関して、アーノルド予想を確立する。重み $q_i$ 全てが奇数である場合、シンプレクティック軌道体のためのフローリングホモロジー技法を適応させることで、${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 上のハミルトニアン写像および ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ とその実射影対応 ${\mathbb{R}P}^{n}({\bf q})$ 間のラグランジュ交わりに関して、予想が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

In this note we observe that Arnold conjecture for the Hamiltonian maps still holds on weighted projective spaces $\CP^n({\bf q})$, and that Arnold conjecture for the Lagrange intersections for $(\CP^n({\bf q}), \RP^n({\bf q}))$ is also true if each weight $q_i\in {\bf q}=\{q_1,..., q_{n+1}\}$ is odd.

研究の動機と目的

• シンプレクティック軌道体、特に重み付き射影空間 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ におけるハミルトニアン固定点のアーノルド予想を拡張すること。
• シンプレクティック軌道体における、ペア $({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q}), {\mathbb{R}P}^{n}({\bf q}))$ に対するラグランジュ交わりのアーノルド予想が成り立つかどうかを調査すること。
• この軌道体設定におけるラグランジュ交わりのアーノルド予想が有効であるための重み $q_i$ の条件を特定すること。
• 孤立した特異点を持つシンプレクティック軌道体に、フローリングホモロジー的手法を適応させること。

提案手法

• シンプレクティック還元を用いて、$S^{2n+1}({\bf q})$ 上の作用素 $K_{{\bf q}}$ を通じて、${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 上の標準的軌道体シンプレクティック形式 $\omega_{\rm FS}^{{\bf q}}$ を定義する。
• $S^{2n+1}({\bf q})$ 上にハミルトニアン円作用 $A^{{\bf q}}_s$ を定義し、その作用素 $K_{{\bf q}}$ を用いて、${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q}) \cong K_{{\bf q}}^{-1}(1/2)/S^1$ という軌道体構造を得る。
• ${\mathbb{C}}^{n+1}$ に値をとる $L^2$-ループからなるヒルベルト空間 $X$ 上に、$S({\bf q}) = \{u \in X \mid \mathcal{K}_{{\bf q}}(u) = 1\}$ に制約された汎関数 $J_H$ を構成する。ここで $\mathcal{K}_{{\bf q}}(u) = \int_0^1 K_{{\bf q}}(u(t)) dt$ である。
• すべての $q_i$ が奇数であるとき、$g \cdot u = (g^{q_1}u_1, \dots, g^{q_{n+1}}u_{n+1})$ を通じたループ空間への ${\mathbb{Z}}_2$-作用を導入する。この作用は自由であり、商 $P({\bf q}) = S({\bf q}) / {\mathbb{Z}}_2$ がヒルベルト多様体となる。
• $J_H$ を有限次元近似 $P_m({\bf q})$ に制限した場合に、Palais-Smale 条件 $(PS)^*$ を適用する。$P_m({\bf q})$ は $\mathbb{R}P^{(2m+1)(n+1)-1}$ に微分同相であり、臨界列のコンパクト性を保証する。
• $L^2([0,1], {\mathbb{C}}^{n+1})$ 上の作用素 $A = -i d/dt$ のスペクトル分解を用いてヒルベルト空間 $X$ を定義し、$J_H$ を正、零、負の部分に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き射影空間 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ をシンプレクティック軌道体と見たとき、ハミルトニアン固定点に関するアーノルド予想は成り立つか？
• RQ2 重み $q_i$ がどのような条件下で、$L = {\mathbb{R}P}^{n}({\bf q})$ としての ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 内のラグランジュ交わり $L \cap \phi(L)$ に関するアーノルド予想が成立するか？
• RQ3 孤立した特異点を持つシンプレクティック軌道体の設定において、フローリングホモロジー的手法を適応させ、アーノルド予想を証明することは可能か？
• RQ4 ${\mathbb{Z}}_2$-作用がすべての重み $q_i$ が奇数のときループ空間上で自由であるか？また、この自由性は汎関数 $J_H$ のために有効な商多様体構造を可能にするか？
• RQ5 $J_H$ が有限次元近似 $P_m({\bf q})$ 上で Palais-Smale 条件を満たすかを確認できるか？これにより臨界点の存在を保証できるか？

主な発見

• 任意の重みタプル ${\bf q}$ に対して、重み付き射影空間 ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ 上でハミルトニアン固定点に関するアーノルド予想が成り立つ。下界は $\sharp{\rm Fix}(\phi) \geq CL({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q}))+1$ である。
• すべての重み $q_i$ が奇数であるとき、ペア $({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q}), {\mathbb{R}P}^{n}({\bf q}))$ に対するラグランジュ交わりのアーノルド予想が成り立つ。
• すべての $q_i$ が奇数であるとき、ループ空間上の ${\mathbb{Z}}_2$-作用は自由であり、商 $P({\bf q})$ が滑らかなヒルベルト多様体となる。これは関数解析的枠組みにおいて不可欠である。
• $J_H$ はフィルトレーション $P_1({\bf q}) \subset P_2({\bf q}) \subset \cdots$ に関して $(PS)^*$ 条件を満たし、勾配が消える有界列が収束部分列を持つことを保証する。
• $J_H|_{S({\bf q})}$ の臨界点はハミルトニアンフローの $1$-周期軌道に対応し、その数はカップ長 $CL({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q});{\mathbb{Z}})$ に $1$ を加えた値より大きい。
• ${\mathbb{C}P}^{n}({\bf q})$ のベッチ数およびカップ長は、コホモロジー環構造を用いて計算される。$H^{2k}({\mathbb{C}P}^{n}({\bf q});{\mathbb{Z}}) \cong {\mathbb{Z}}$（$0 \leq k \leq n$）であり、積は $\gamma_k \gamma_j = \frac{l_k^{{\bf q}} l_j^{{\bf q}}}{l_{k+j}^{{\bf q}}} \gamma_{k+j}$（$k+j \leq n$ のとき）、さもなければ $0$ である。