[論文レビュー] Symplectic Forms on Moduli Spaces of Flat Connections on 2-manifolds

Lisa C. Jeffrey|ArXiv.org|Apr 28, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、群コホモロジーとde Rham-バー双複体を用いて、2次元多様体上の平坦接続のねじれmoduli空間にシンプレクティック形式を構成し、Weinsteinの枠組みを拡張する。拡張されたmoduli空間におけるシンプレクティック形式の明示的群コホモロジー構成を提供し、G作用のモーメント写像を計算し、G=SU(n) かつ β が中心の生成元であるとき、減少空間が滑らかなシンプレクティック多様体であることを証明する。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact connected semisimple Lie group. We extend the techniques of Weinstein [W] to give a construction in group cohomology of symplectic forms $ω$ on \lq twisted' moduli spaces of representations of the fundamental group $π$ of a 2-manifold $Σ$ (the smooth analogues of ${ m Hom} (π_1(Σ), G)/G$) and on relative character varieties of fundamental groups of 2-manifolds. We extend this construction to exhibit a symplectic form on the extended moduli space [J1] (a Hamiltonian $G$-space from which these moduli spaces may be obtained by symplectic reduction), and compute the moment map for the action of $G$ on the extended moduli space.

研究の動機と目的

• Weinsteinの群コホモロジーによるシンプレクティック形式の構成を、表面群のねじれmoduli空間および相対的特性多様体へ拡張すること。
• 拡張されたmoduli空間 X_β を用いた有限次元のシンプレクティック実現を通じて、シンプレクティック減少を可能にすること。
• 拡張されたmoduli空間 X_β におけるG作用のモーメント写像を計算し、ゲージ理論的構成と一致することを示すこと。
• 群コホモロジーにおけるカップ積ペアリングを通じて、M_β 上のシンプレクティック形式の非退化性を確立すること。
• X_β のG-equivariantコホモロジーを用いて、H*(M_β) の交差ペアリングを計算する基盤を築くこと。

提案手法

• Eilenberg-Mac Lane群チェーンとFox微分を用いて、表面関係 R に付随する 2次元チェーン c ∈ C₂(F) を定義する。
• δ を群コホモロジーから、d を外微分とする de Rham-バー双複体 (C^{*,*}(G), δ, d) を適用する。
• Poincaré補題からのチェーンホモトピー作用素を用いて、Maurer-Cartan形式と組み合わせ、拡張されたmoduli空間 X_β 上のシンプレクティック形式 ω を構成する。
• 商の接空間をコホモロジー群 H¹(F; g_h) と同一視し、カップ積ペアリングを用いて非退化性を検証する。
• ホロノミーを介して、ゲージ理論的接空間 H¹(Σ−D²; d_A) と群コホモロジー H¹(F; g_h) の間の同型を確立する。
• X_β 上のシンプレクティック形式が、カップ積ペアリングを通じてゲージ理論的形式 ∫_Σ−D² α·∧β と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コホモロジーを用いて、ねじれmoduli空間 M_β 上のシンプレクティック形式をどのように構成できるか？
• RQ2 拡張されたmoduli空間 X_β におけるG作用の明示的モーメント写像の形は何か？
• RQ3 群コホモロジーにおけるカップ積は、M_β 上のシンプレクティック形式とどのように関係するか？
• RQ4 M_β が滑らかなシンプレクティック多様体であるための条件は何か？
• RQ5 X_β 上の群コホモロジー構成は、平坦接続のゲージ理論的記述とどのように関係するか？

主な発見

• X_β 上のシンプレクティック形式 ω は、Maurer-Cartan形式とチェーンホモトピー作用素を用いて明示的に構成され、閉形式かつ非退化であることが保証される。
• X_β におけるG作用のモーメント写像が計算され、正規化を除いてゲージ理論的モーメント写像と一致することが示された。
• G=SU(n) かつ β が Z(G) の生成元であるとき、モーメント写像の値 0 は正則値であり、M_β が滑らかなシンプレクティック多様体であることを保証する。
• M_β 上の ω の非退化性は、コホモロジー群 H¹(F; g_h) × H¹(F, Z; g_h) → ℝ のカップ積ペアリングの非退化性に起因する。
• X_β 上のシンプレクティック形式は、ゲージ理論的形式 ∫_Σ−D² α·∧β と一致し、異なる記述法間の整合性が確認された。
• この構成により、H*(M_β) のコホモロジー類に対する明示的なde Rham代表元が得られ、[JK2] における交差ペアリングの計算に不可欠である。