[論文レビュー] Symplectic homology of convex domains and Clarke's duality

Alberto Abbondandolo, Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^{2n}$ 上の凸ハミルトニアンのフローリング複体とそのフェンケル双対作用関数のモース複体との間に、作用フィルトレーションを保つ同型写像を確立する。主な結果は、滑らかな境界をもつ凸領域のシンプレクティックホモロジーが、境界上の閉じた特徴的軌道の最小作用を計算することを示しており、シンプレクティック位相幾何学とハミルトニアン系におけるクラークの双対性を結びつける。

ABSTRACT

We prove that the Floer complex that is associated with a convex Hamiltonian function on $\mathbb{R}^{2n}$ is isomorphic to the Morse complex of Clarke's dual action functional that is associated with the Fenchel-dual Hamiltonian. This isomorphism preserves the action filtrations. As a corollary, we obtain that the symplectic capacity from the symplectic homology of a convex domain with smooth boundary coincides with the minimal action of closed characteristics on its boundary.

研究の動機と目的

• 凸ハミルトニアンに関してクラークの双対性を介したシンプレクティックフローリングホモロジーとモース理論の間の深い構造的関係を確立すること。
• 凸で非退化で、二次的凸性をもつハミルトニアンのフローリング複体が、そのフェンケル双対のモース複体と同型であることを示すこと。
• 滑らかな境界をもつ凸領域のシンプレクティックホモロジーから得られるシンプレクティック容量が、境界上の閉じた特徴的軌道の最小作用に一致することを証明すること。
• 有限次元還元とハイブリッドフロー構成を用いて、双対関数 $\Psi_{H^*}$ のwell-definedなモース複体を構成する際の解析的困難を克服すること。

提案手法

• 非退化で1周期的軌道をもち、無限遠で共振を示さない、$ℝ^{2n}$ 上の時間周期的かつ強く凸なハミルトニアン $H$ を構成する。
• ハミルトニアンのルジャンドル変換を用いてフェンケル双対関数 $\Psi_{H^*}$ を定義し、これは凸かつ上に線形で、有限モース指数の臨界点を持つ。
• 動的安定化を可能にし、有限次元還元を可能にするために、関数 $\widetilde{\Psi}_{H^*}$ を積空間 $C^\infty_0(\mathbb{T}, \mathbb{R}^{2n}) \times C^\infty_0(\mathbb{T}, \mathbb{R}^{2n}) \times \mathbb{R}^{2n}$ 上に導入する。
• 元の双対関数 $\Psi_{H^*}$ の安定・不安定多様体に対応する、拡張された空間上のベクトル場 $X_{\widetilde{\Psi}_{H^*}}$ を構成し、これによりモース複体の構成が可能になる。
• 拡張された関数 $\widetilde{\Phi}_H$ と $\widetilde{\Psi}_{H^*}$ の間の微分同相写像 $\Gamma$ を定義し、変数変換の下で両者が同値であることを示す。
• ベクトル場 $X_{\widetilde{\Phi}_H}$ の不安定多様体と、写像 $\Gamma$ による $X_{\widetilde{\Psi}_{H^*}}$ の安定多様体の像の交わりを用いて、チェーン写像 $\Theta$ を定義し、フローリング複体とモース複体の同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸ハミルトニアンのフローリング複体とそのフェンケル双対のモース複体との間に、自然な同型写像が存在するか？
• RQ2 滑らかな境界をもつ凸領域のシンプレクティックホモロジーは、境界上の閉じた特徴的軌道の最小作用を用いて計算可能か？
• RQ3 ハミルトニアン系におけるクラークの双対性は、作用関数の無限次元モース理論とどのように関係するか？
• RQ4 有限次元還元とハイブリッドフロー構成を用いて、双対関数のモース複体を定義する際の解析的困難を克服できるか？

主な発見

• 凸で非退化かつ二次的凸性をもつハミルトニアン $H$ に対して、関連するフローリング複体 $F_*(H)$ は、そのフェンケル双対 $\Psi_{H^*}$ のモース複体と同型であり、作用フィルトレーションを保つ。
• 同型写像 $\Theta$ は、$s=0$ における混合境界条件をもつ半シリンダ上でのフローリング方程式の解を含むハイブリッド問題を用いて構成される。
• 滑らかな境界をもつ凸領域のシンプレクティックホモロジーから得られるシンプレクティック容量は、境界上の閉じた特徴的軌道の最小作用に一致する。
• 双対関数 $\Psi_{H^*}$ は有限モース指数の臨界点を持ち、これにより無限次元のフローリング理論 $\Phi_H$ と同型な有限次元モース理論が可能になる。
• 拡張関数 $\widetilde{\Phi}_H$ と $\widetilde{\Psi}_{H^*}$ は微分同相写像 $\Gamma$ によって関連づけられ、これにより両者のモース複体が同型であることが保証される。