[論文レビュー] Symplectic invariants, Virasoro constraints and Givental decomposition

Nicolas Orantin|ArXiv.org|Aug 5, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 62

ひとこと要約

本論文は、スペクトル曲線から導かれるシンプレクティック不変量が、$ydx$ の極および $dx$ の零点においてバーラソロ制約を満たすことを確立し、[14] の再帰的ループ方程式と [3] のバーラソロ制約の二つの行列 M-理論のアプローチを統合する。主な結果は、分配関数がギベルンタルの公式を用いて 1 ヘルミート行列積分とコンツェビッチ積分の積に分解可能であり、シンプレクティック不変量を通じて行列モデル間の双対性を明らかにすることである。

ABSTRACT

Following the works of Alexandrov, Mironov and Morozov, we show that the symplectic invariants of \cite{EOinvariants} built from a given spectral curve satisfy a set of Virasoro constraints associated to each pole of the differential form $ydx$ and each zero of $dx$ . We then show that they satisfy the same constraints as the partition function of the Matrix M-theory defined by Alexandrov, Mironov and Morozov. The duality between the different matrix models of this theory is made clear as a special case of dualities between symplectic invariants. Indeed, a symplectic invariant admits two decomposition: as a product of Kontsevich integrals on the one hand, and as a product of 1 hermitian matrix integral on the other hand. These two decompositions can be though of as Givental formulae for the KP tau functions.

研究の動機と目的

• 行列 M-理論の文脈における異なる行列モデル間の双対性を明確化すること。
• [14] の再帰的シンプレクティック不変量が、[3] の分配関数と同一のバーラソロ制約を満たすことを示すこと。
• 分配関数のギベルンタル型分解を 1 ヘルミート行列積分およびコンツェビッチ型行列積分にすること。
• 行列モデルにおけるループ方程式が、$ydx$ の極に局在化したバーラソロ制約として解釈可能であることを示すこと。
• ハイパーオーログリック曲線にとどまらず、一般のスペクトル曲線へとバーラソロ制約形式主義を拡張すること。

提案手法

• スペクトル曲線 ${\rmf E}(x,y)=0$ からシンプレクティック不変量 $F^{(g)}({\rmf E})$ を定義し、分配関数 ${ mf Z} = \exp\left(-\sum_g N^{2-2g} F^{(g)}\right)$ を構成する。
• 微分形式とループ挿入作用素を組み合わせた電流作用素 ${\cal J}(p) = N ydx(p) + \frac{1}{N} \partial_{B(\cdot,p)}$ を導入する。
• 電流作用素と輪状積分を用いて、$ydx$ の極および $dx$ の零点におけるグローバルなバーラソロ制約 $\widehat{\cal L}(p) {\rmf Z} = 0$ を導出する。
• 座標展開 $z_i(p)$ を用いて、極および分岐点の近傍でのグローバルなバーラソロ作用素を局所的離散バーラソロ生成子 $L_j^{(i)}$ に射影する。
• 得られた局所的バーラソロ代数を用いて、分配関数を 1 ヘルミート行列積分およびコンツェビッチ型積分の積に分解する。
• 分解をギベルンタルの多成分 KP タウ関数の公式と関連づけ、シンプレクティック不変量と可積分系を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 [14] で再帰的関係式によって定義されたシンプレクティック不変量は、[3] の行列 M-理論の分配関数と同一のバーラソロ制約を満たすか？
• RQ2 行列モデルにおけるループ方程式は、$ydx$ の極に局在化したバーラソロ制約として解釈可能か？
• RQ3 シンプレクティック不変量はギベルンタル形式主義においてどのように分解され、行列モデル間の双対性に何を意味するか？
• RQ4 グローバルなバーラソロ制約は、スペクトル曲線の特異点において局所的離散バーラソロ代数に射影可能か？
• RQ5 $\cal J(p)$ によって定義される電流代数におけるクリチェヴェル＝ノヴィコフ代数構造の役割は何か？

主な発見

• シンプレクティック不変量から定義された分配関数 ${\rmf Z}$ は、$ydx$ の各極および $dx$ の各零点においてグローバルなバーラソロ制約 $\widehat{\cal L}(p){\rmf Z} = 0$ を満たす。
• [14] における相関関数の再帰的定義は、分岐点におけるバーラソロ作用素の作用に等しく、二つのアプローチの整合性を確認する。
• グローバルなバーラソロ作用素は極 $\alpha_i$ の近傍で局所的離散バーラソロ生成子 $L_j^{(i)}$ に分解可能であり、$t_{k,i}$-微分および構造定数を含む明示的表現が得られる。
• 分配関数は、1 ヘルミート行列積分とコンツェビッチ型積分の積にギベルンタル型に分解可能であり、それぞれ極および分岐点に対応する。
• 1 ヘルミート行列モデルとコンツェビッチモデルの双対性は、同一のスペクトル曲線から、異なるバーラソロ制約を介して自然に生じる。
• この形式主義はハイパーオーログリック曲線にとどまらず、高(genus)や混合相関関数への一般化を可能にするフレームワークを提供する。