[論文レビュー] Symplectic level-rank duality via tensor categories

Victor Ostrik, Eric C. Rowell+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、根の単位根における型Cの量子群から生じるbraided fusion categoryに対して、シンプレクティック型のレベルランク双対性を確立し、カテゴリ ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$ と反転カテゴリ ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ の間のブレード反転同型を証明する。この結果は、 conformal embedding と braided fusion category の分類の二通りの方法により得られ、奇数の根の単位根における非ユニタリな場合へも拡張される。

ABSTRACT

We give two proofs of a level-rank duality for braided fusion categories obtained from quantum groups of type $C$ at roots of unity. The first proof uses conformal embeddings, while the second uses a classification of braided fusion categories associated with quantum groups of type $C$ at roots of unity. In addition we give a similar result for non-unitary braided fusion categories quantum groups of types $B$ and $C$ at odd roots of unity.

研究の動機と目的

• 量子群の型Cにおける根の単位根に関連するbraided fusion categoryのレベルランク双対性を確立すること。
• 二通りの異なる証明法を提供すること：一つは conformal embedding を用い、もう一つは braided fusion category の分類を用いること。
• 奇数の根の単位根における型BおよびCの非ユニタリbraided fusion category へ双対性を拡張すること。
• braided monoidal 同型を通じて、有限型とアフィン型のリー代数表現の関係を明確にすること。
• カテゴリカルおよびリー理論的道具を用いて、型Aのレベルランク双対性をシンプレクティック型へ一般化すること。

提案手法

• アフィンリー代数の conformal embedding を用いる：$(\widehat{\mathfrak{sp}}_{2n})_{k} \oplus (\widehat{\mathfrak{sp}}_{2k})_{n} \subset (\widehat{\mathfrak{so}}_{4nk})_{1}$ を用いて双対性を構成する。
• 奇数の次数成分を持つ $\mathbb{Z}/2$-graded カテゴリのbraidingを変更することで、反転braided fusion category ${\mathcal{C}}^{-}$ を構成する。
• $\mathcal{C} \boxtimes s\mathrm{Vec}$ の対角的構成を用いて、$\mathbb{Z}/2$-graded braided 構造を実現する。
• $n \times k$ 矩形内の分割の組み合わせ的データを用いて、既約表現および重みをパrameter化する。
• Kac-Peterson 公式をシンプレクティック設定に適用し、特徴を計算して双対性を検証する。
• C型の融合規則を持つbraided fusion category の再構築技術を用いて、非ユニタリな場合の双対性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 braided fusion category ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$ と ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ の間にブレード反転テンソル同型が存在するか？
• RQ2 根の単位根における型Cの量子群のレベルランク双対性は、conformal embedding を用いて証明可能か？
• RQ3 レベルが奇数の整数である場合、双対性は非ユニタリカテゴリへどのように拡張されるか？
• RQ4 $\mathbb{Z}/2$-grading と $\mathcal{C}^{-}$ 構成が双対カテゴリを実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 C型の融合規則を持つbraided fusion category のカテゴリカル分類を用いて、双対性を確立できるか？

主な発見

• ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n})_{k}$ と ${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2k})_{n}^{-}$ の間にブレード反転テンソル同型が存在し、シンプレクティック型レベルランク双対性が確立される。
• 双対性は $\widehat{\mathfrak{so}}_{4nk}$ のレベル1における conformal embedding を通じて直接的な幾何的構成により証明される。
• 第二の証明は、C型の融合規則を持つbraided fusion category の分類に依拠し、高度なカテゴリカルな道具を用いる。
• 双対性は、奇数のレベル $\ell$ における非ユニタリカテゴリへ拡張され、${\mathcal{C}}(\mathfrak{sp}_{2n},\ell)$ で $\ell = 2k + 2n + 1$ のとき、双対の役割を果たす。
• $s \in S_{n+k}$ に対する重み計算 $s\rho - \rho_{\mathfrak{t}}$ が分割とその補集合 $\lambda^{c}$ の組み合わせと一致し、表現論的レベルで双対性が確認される。
• $W_{\mathfrak{t}}^{1}$ が黒白のドット図との間の全単射を介して $I_{n,k}$ に同型であることが示され、群論と分割の組み合わせ論が結びつけられる。