[論文レビュー] Symplectic Lie group methods

Geir Bogfjellmo, Håkon Marthinsen|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

Numerical methods for differential equations被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、リー群 G の余接 bundle T∗G 上で、既存のリー群積分法を活用することで、シンプレクティック積分法を統一的フレームワークで構築する手法を提示する。ルンゲ＝クッタ＝ミュンテ＝カースおよびクロウチ＝グロスマン法を用いることで、任意の高次精度のシンプレクティック積分法を構築可能となり、幾何的数値積分における長期的精度を保証するシンプレクティック構造を維持する。

ABSTRACT

In this article, a unified approach to obtain symplectic integrators on T ∗G from Lie group integrators on a Lie group G is presented. The approach is worked out in detail for symplectic integrators based on Runge–Kutta–Munthe-Kaas methods and Crouch–Grossman methods. In both cases, we show that it is possible to obtain symplectic integrators of arbitrarily high order by this approach. 1

研究の動機と目的

• リー群 G の余接 bundle T∗G 上でシンプレクティック積分法を体系的に生成するための手法を開発すること。
• リー群上のハミルトニアン系の数値積分において、シンプレクティック構造を保存するという課題に取り組むこと。
• 高次シンプレクティック積分法を、リー群積分法からその位相空間 T∗G にまで拡張するための統一的フレームワークを提供すること。
• ルンゲ＝クッタ＝ミュンテ＝カースおよびクロウチ＝グロスマン法が、両方とも任意の次数のシンプレクティック積分法を導出可能であることを示すこと。

提案手法

• 自然なシンプレクティック構造を有する T∗G を用いて、リー群 G 上で定義された積分法を位相空間へと持ち上げる。
• ルンゲ＝クッタ＝ミュンテ＝カース法を用いて G 上での時間積分法を構築し、シンプレクティック性を保ったまま T∗G へと持ち上げる。
• クロウチ＝グロスマン法については、リー群上での内在的構造を活用して、T∗G 上でのシンプレクティック積分法へと拡張する。
• この構築法により、T∗G 上のシンプレクティック形式が数値フローのもとで保存されることを保証する。
• リー群の幾何的性質、特に左不変ベクトル場と指数写像に依存する。
• 理論的分析により、得られる積分法がシンプレクティックであり、任意の高次精度であることが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群 G 上の積分法を用いて、T∗G 上で任意の高次シンプレクティック積分法を構築可能か？
• RQ2 G から T∗G に積分法を拡張する際、T∗G のシンプレクティック構造をどのように保存できるか？
• RQ3 ルンゲ＝クッタ＝ミュンテ＝カースおよびクロウチ＝グロスマン法を、T∗G 上でシンプレクティック性を達成するために必要な修正は何か？
• RQ4 G 上の既存の積分法に基づいて、T∗G 上でのシンプレクティック積分を可能にする統一的フレームワークは存在するか？
• RQ5 持ち上げられた積分法がシンプレクティックのままであるための必要十分条件は何か？

主な発見

• 提案手法により、リー群 G 上の積分法を T∗G へと持ち上げることで、位相空間のシンプレクティック構造を保存するシンプレクティック積分法が成功裏に構築された。
• ルンゲ＝クッタ＝ミュンテ＝カースおよびクロウチ＝グロスマン法の両方を用いて、このフレームワークにより任意の高次シンプレクティック積分法を取得可能である。
• 持ち上げ手順により、数値フローがシンプレクティックのままであることが保証され、これはハミルトニアン系のシミュレーションにおける長期的安定性に不可欠である。
• この手法は一般性に富み、両クラスの積分法に一様に適用可能であり、広範な適用可能性を示している。
• 理論的分析により、得られる積分法がシンプレクティックであり、次数制限なしに高次精度であることが確認された。
• 既存のリー群積分法を余接 bundle 上でのシンプレクティック積分法へと体系的かつ幾何学的に拡張するための明確な方法を提供した。