[論文レビュー] Symplectic maps: from generating functions to Liouvillian forms

Hugo Jiménez-Pérez|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特別なシンプレクティック多様体上のLiouvillian形式を用いた幾何学的手法を提案し、従来の生成関数やDarboux座標に依存せずに、暗黙のシンプレクティック写像を構成する。このアプローチはシンプレクティックCayley変換を一般化し、次元n(2n+1)の連続的なシンプレクティック積分法の族を導出し、シンプレクティックEuler A/Bスキームや中点則を特別な場合として含む。主な結果として、一般化された暗黙のシンプレクティックEulerスキームが得られる。

ABSTRACT

In this article we introduce a new method for constructing implicit symplectic maps using special symplectic manifolds and Liouvillian forms. This method extends, in a natural way, the method of generating functions to 1-forms which are globally defined on the symplectic manifold. The maps constructed by this method, are related to the symplectic Cayley's transformation and belong to a continuous space of dimension n(2n+1). Applying the implicit map to the discrete Hamilton equations we obtain the generalized symplectic Euler scheme. We show the relations of the elements of this family with other discrete symplectic mapping, in particular 1) with the mappings obtained by generating functions of type I, II, and III and IV; 2) with the symplectic Euler methods A and B; and 3) with the mid-point rule. Moreover, we show the corresponding symplectic diffeomorphisms and their Liouvillian forms on the product symplectic manifold. We illustrate the details of the method in constructing two different families of implicit symplectic maps for $n=1$. This is a geometrical method which overcomes the difficulties of the Hamilton-Jacobi theory and generating functions.

研究の動機と目的

• 生成関数やDarboux座標に依存しない、暗黙のシンプレクティック写像を構成する幾何学的枠組みの構築。
• シンプレクティックEuler A/Bスキームや中点則といった既知のシンプレクティック積分法を、一つの連続的写像族に統一すること。
• Liouvillian形式とシンプレクティックCayley変換との関係を確立し、連続的変換の離散版を提供すること。
• ハミルトニアン系に適用可能な、一般化された暗黙のシンプレクティックEulerスキームを、この手法の自然な結果として導出すること。
• n=1の場合の明示的構成を通じて、Liouvillian形式が積み重ねたシンプレクティック多様体上のシンプレクティック微分同相写像を定義する役割を示すこと。

提案手法

• シンプレクティック多様体上に局所的に定義されたLiouvillian 1形式θの積分多様体として定義されるラグランジュ部分多様体を用いて、シンプレクティック写像を構成する。
• 積み重ねたシンプレクティック多様体上の複素構造を用いて、ラグランジュ部分多様体の接空間方程式を導出し、ハミルトン＝ジャコビ方程式を解く必要を回避する。
• ラグランジュ部分多様体の射影に対する横断性条件を用いてシンプレクティック写像を導出し、座標の簡約なしにシンプレクティック性を保証する。
• 線形の場合、写像は対角線上で恒等写像に収束し、この条件が元の多様体上の二つのLiouvillian形式の関係に翻訳される。
• ハミルトニアン系に一般化するには、トレースがゼロである行列パラメータb ∈ M_{2×2}(ℝ)を用いて一般化されたシンプレクティックEulerスキームを定義し、シンプレクティック性を保証する。
• パラメータが特定の値をとるとき、既知のスキーム（例：シンプレクティックEuler A/B、中点則）が特別な場合として現れることを示し、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数に代えてLiouvillian形式を用いることで、どのようにしてシンプレクティック写像を体系的に構成できるか？
• RQ2 Liouvillian形式、ラグランジュ部分多様体、および積み重ねた多様体上のシンプレクティック微分同相写像との間の幾何学的関係は何か？
• RQ3 提案手法は、離散的設定においてどのようにシンプレクティックCayley変換を一般化するか？
• RQ4 一般化された暗黙のシンプレクティックEulerスキームは、このLiouvillian形式フレームワークの自然な結果として導出可能か？
• RQ5 行列パラメータbが数値的挙動に与える役割は何か？また、そのパラメータは既知のシンプレクティックスキームとどのように関係するか？

主な発見

• 本手法は、次元n(2n+1)の連続的な暗黙のシンプレクティック写像族を構成し、標準的な生成関数法を一般化する。
• 一般化されたシンプレクティックEulerスキームは、自然な結果として得られ、数値的更新はz_h = z_0 + h X_H(ρ(z_0, z_h))で定義される。ここでρはハミルトニアン行列bによってパラメータ化された線形写像である。
• シンプレクティックEuler AとBスキームは、それぞれbが(α,β,γ) = (1/2,0,0)および(−1/2,0,0)となる極限ケースとして回復される。
• 中点則は、bがφ = π/4の回転行列となる場合に対応し、対称的な更新スキームをもたらす。
• n=1の場合、特別なシンプレクティック多様体を用いた連続的積分法族と、一般化されたEulerスキームによる別の族を明示的に構成し、本手法の柔軟性を示した。
• 本手法は、数値スキームをシンプレクティックCayley変換の離散版として幾何学的に解釈でき、ハミルトニアン行列の構造と結びつく。