[論文レビュー] Symplectic quotients by a nonabelian group and by its maximal torus

Shaun Martin|ArXiv.org|Jan 1, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 75

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな非アーベルリー群 $G$ とその最大トーラス $T\subset G$ に対して、シンプレクティック商 $X//G$ と $X//T$ 上の有理コホモロジー環、コホモロジー対応、および楕円型作用素の指数の明確な関係を確立する。$H^*(X//G;\mathbb{Q})$ が $H^*(X//T;\mathbb{Q})$ の $W$-不変部分環であり、根線束のエラークラスの積の annihilator を法として商をとったものに同型であることを証明する。

ABSTRACT

This paper examines the relationship between the symplectic quotient X//G of a Hamiltonian G-manifold X, and the associated symplectic quotient X//T, where T is a maximal torus, in the case in which X//G is a compact manifold or orbifold. The three main results are: a formula expressing the rational cohomology ring of X//G in terms of the rational cohomology ring of X//T; an `integration' formula, which expresses cohomology pairings on X//G in terms of cohomology pairings on X//T; and an index formula, which expresses the indices of elliptic operators on X//G in terms of indices on X//T. (The results of this paper are complemented by the results in a companion paper, in which different techniques are used to derive formulae for cohomology pairings on symplectic quotients X//T, where T is a torus, in terms of the T-fixed points of X. That paper also gives some applications of the formulae proved here.)

研究の動機と目的

• コンパクトな非アーベルリー群 $G$ 及びその最大トーラス $T$ に対して、シンプレクティック商 $X//G$ と $X//T$ の有理コホモロジー環の構造的関係を確立すること。
• コホモロジー対応を $X//T$ 上の対応に表現する積分公式を導出すること。この際、コホモロジー類の「上げ」を用いる。
• シンプレクティック商 $X//G$ 上の楕円型作用素の指数定理を、$T$-シンプレクティック商に基づいて定式化すること。
• 自由作用とコンパクト性の仮定の下で、より単純なトーリック商 $X//T$ を用いた、シンプレクティック商の位相的不変量の計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• シンプレクティック商 $X//G = \mu_G^{-1}(0)/G$ および $X//T = \mu_T^{-1}(0)/T$ を定義する。ここで $\mu_G$ および $\mu_T$ は $G$-および $T$-作用のためのミオメイプである。
• 主 $T$-バンドル $\mu_T^{-1}(0) \to X//T$ を用いて、$T$-重み $\alpha$ に関連する線束のエラークラス $e(\alpha) \in H^2(X//T;\mathbb{Q})$ を構成する。
• $\Delta$ を $G$ の根の集合とするとき、$e = \prod_{\alpha \in \Delta} e(\alpha)$ を定義し、$H^*(X//T;\mathbb{Q})^W$ 内の理想 $\operatorname{ann}(e)$ を考察する。
• $W$ を $G$ のウェイル群とするとき、環同型 $H^*(X//G;\mathbb{Q}) \cong H^*(X//T;\mathbb{Q})^W / \operatorname{ann}(e)$ を確立する。
• コホモロジー類 $a \in H^*(X//G)$ の「上げ」$\tilde{a} \in H^*(X//T)$ を、写像 $\pi: Y \to X//G$ および $i: Y \hookrightarrow X//T$ 沿いの引き戻しと制限を用いて定義する。ここで $Y = \mu_G^{-1}(0)/T$ である。
• 積分公式 $\int_{X//G} a = \frac{1}{|W|} \int_{X//T} \tilde{a} \smile e$ を導出する。これは $X//G$ 上のコホモロジー対応を $X//T$ 上の対応に結びつける。
• $X//G$ 上にシンプレクティック形式と整合する almost complex 構造を定義し、$X//G$ 上の複素ベクトルバンドル $V$ 上のディラック型作用素 $D_V$ を構成する。
• 指数公式 $\operatorname{index}^{X//G} D_V = \operatorname{index}^{X//T} D_{\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{even}} E} - \operatorname{index}^{X//T} D_{\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{odd}} E}$ を証明する。ここで $E$ は $T$-重みのバンドルである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルコンパクトリー群 $G$ によるシンプレクティック商 $X//G$ の有理コホモロジー環は、$T$-商 $X//T$ のコホモロジーを用いてどのように記述できるか？
• RQ2 コホモロジー対応 $X//G$ と $X//T$ 間の明確な関係は何か？これはウェイル群および特徴類を含む公式として表現可能か？
• RQ3 $X//G$ 上の楕円型作用素の指数は、$T$-シンプレクティック商 $X//T$ のデータを用いて計算可能か？
• RQ4 $X//G$ の位相的不変量（例えばコホモロジー環構造や指数）は、最大トーラス $T$ の固定点データおよび表現論とどのように関係するか？

主な発見

• 有理コホモロジー環 $H^*(X//G;\mathbb{Q})$ は、$G$ の根の集合 $\Delta$ に対して $e = \prod_{\alpha \in \Delta} e(\alpha)$ の annihilator を法とする、$H^*(X//T;\mathbb{Q})$ の $W$-不変部分環に同型である。
• 積分公式 $\int_{X//G} a = \frac{1}{|W|} \int_{X//T} \tilde{a} \smile e$ は、$X//G$ 上のコホモロジー対応を $X//T$ 上の対応に表現する。ここで $\tilde{a}$ は $a$ の「上げ」であり、$\pi^*a = i^*\tilde{a}$ を満たす。
• 楕円型作用素 $D_V$ の指数は、バンドル $\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{even}} E$ および $\tilde{V} \otimes \Lambda^{\text{odd}} E$ の $X//T$ 上の指数の交項和として与えられる。ここで $E$ は $T$-重みのバンドルである。
• グラスマンニアン $G(k,n)$ に対して、積分公式は $\int_{G(k,n)} \prod_{i=1}^k c_i(V^*)^{m_i} = \frac{1}{k!} \operatorname{coeff}_{u_1^{n-1}\cdots u_k^{n-1}}\big(\sigma_1^{m_1}\cdots\sigma_k^{m_k} \cdot \prod_{i\neq j}(u_i - u_j)\big)$ を導く。ここで $\sigma_i$ は基本対称多項式である。
• グラスマンニアン $G(k,n)$ 上のタウトロジカルバンドル $V^*$ のチャーン類は、$u_j$ の基本対称多項式として特定され、$(\mathbb{CP}^{n-1})^k$ 上の $T$-線束のエラー類は $u_j - u_i$ である。
• $G(k,n)$ を $\operatorname{Hom}(\mathbb{C}^k,\mathbb{C}^n)//U(k)$ としてシンプレクティック商として構成する。ミオメイプは $\mu_{U(k)}(A) = A^*A - I$ であり、$\mu_{U(k)}^{-1}(0)$ はユニタリ $k$-フレームの空間として特定され、$U(k)$ による商は $G(k,n)$ を与える。