[論文レビュー] Symplectic Runge-Kutta Semi-discretization for Stochastic Schrödinger Equation

Chuchu Chen, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ストラトノビッチ解釈における確率的シュレーディンガー方程式の時間方向半離散化に対して、確率的シンプレクティックルンゲ＝クッタ法を提案し、それが無限次元の確率的ハミルトニアン系として定式化されることを確立する。これらの手法はシンプレクティック性と電荷保存を保つ。収束定理により、確率的中点法が適切な正則性条件下で平均二乗収束次数1を達成することが証明される。

ABSTRACT

Based on a variational principle with a stochastic forcing, we indicate that the stochastic Schrödinger equation in Stratonovich sense is an infinite-dimensional stochastic Hamiltonian system, whose phase flow preserves symplecticity. We propose a general class of stochastic symplectic Runge-Kutta methods in temporal direction to the stochastic Schrödinger equation in Stratonovich sense and show that the methods preserve the charge conservation law. We present a convergence theorem on the relationship between the mean-square convergence order of a semi-discrete method and its local accuracy order. Taking stochastic midpoint scheme as an example of stochastic symplectic Runge-Kutta methods in temporal direction, based on the theorem we show that the mean-square convergence order of the semi-discrete scheme is 1 under appropriate assumptions.

研究の動機と目的

• ストラトノビッチ解釈における確率的シュレーディンガー方程式を、シンプレクティック位相フローを有する無限次元の確率的ハミルトニアン系として確立すること。
• 時間方向の半離散化に適した、シンプレクティック性と電荷保存を保つ一般クラスの確率的シンプレクティックルンゲ＝クッタ法を開発すること。
• 半離散化スキームの局所的精度次数と平均二乗収束次数の関係を示す収束定理を導出すること。
• シンプレクティックルンゲ＝クッタ法の具体例である確率的中点法の平均二乗収束次数を分析すること。
• 空間方向に有限差分法を適用し、時間方向に中点法を用いた高分解率の参照解を用いた数値実験を通じて、理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 確率的外力を持つ変分原理を用いて、無限次元の確率的ハミルトニアン系を定式化する。
• 時間方向に適用するルンゲ＝クッタ法がシンプレクティック性を保つための条件を導出する。
• シンプレクティックルンゲ＝クッタ法が、確率的シュレーディンガー方程式の電荷保存則をも保つことを証明する。
• 十分な空間的正則性のもとで、半離散化スキームの平均二乗収束次数がその局所的精度次数に等しいことを示す収束定理を確立する。
• 収束定理を確率的中点法に適用し、適切な仮定のもとで平均二乗収束次数1を達成することを示す。
• 空間方向に有限差分法、時間方向に中点法を用いた数値実験を実装し、高分解率で計算された参照解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストラトノビッチ解釈における確率的シュレーディンガー方程式は、シンプレクティック位相フローを有する無限次元の確率的ハミルトニアン系として定式化可能か？
• RQ2 この系に時間方向に適用するルンゲ＝クッタ法のシンプレクティック条件は何か？
• RQ3 シンプレクティックルンゲ＝クッタ法は、確率的シュレーディンガー方程式の電荷保存則を保つか？
• RQ4 この方程式の半離散化スキームにおいて、局所的精度次数と平均二乗収束次数の関係は何か？
• RQ5 確率的シュレーディンガー方程式に適用した場合の確率的中点法の平均二乗収束次数は何か？

主な発見

• ストラトノビッチ解釈における確率的シュレーディンガー方程式は、シンプレクティック性を保つ位相フローを有する無限次元の確率的ハミルトニアン系である。
• 時間方向に一般クラスの確率的シンプレクティックルンゲ＝クッタ法を提案し、これらの手法は電荷保存則を保つ。
• シンプレクティックルンゲ＝クッタ法の具体例たる確率的中点法は、適切な正則性仮定のもとで平均二乗収束次数1を達成する。
• 数値実験により、中点法が確率的状況下で、ノイズが十分に滑らかである場合（例：$M=10$ または $M=50$ で滑らかな $\mathbf{Q}$ 演算子）、収束次数1を達成することが確認された。
• ノイズが正則性に乏しい場合（例：$M=8$ または $M=100$）、収束次数は約0.5に低下し、解の正則性がノイズ演算子に依存する傾向と整合的である。
• 非シンプレクティック手法は電荷とエネルギーを保存せず、電荷は線形に減少し、平均エネルギーは非線形に増加するが、シンプレクティック中点法は電荷保存とエネルギーの有界な増加を維持する。