[論文レビュー] Symplectic structures of algebraic surfaces and deformation

Fabrizio Catanese|ArXiv.org|Jul 26, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、一般型の最小的でない表面が、微分同相型の下で一意な、滑らかな変形および特異点のQ-ゴレンシュタイン滑らかさの下で不変な標準的シンプレクティック構造を備えていることを確立する。マネッティの非変形同値だが微分同相な表面の例を用いて、著者たちはこれらの表面が標準的シンプレクティック形式を通じてシンプレクティック同相であることを証明し、これを応用して、シンプレクティック同相ではあるが等奇性的変形同値ではないカスプ付き平面曲線の存在を示す。

ABSTRACT

Friedman and Morgan made the "speculation" that deformation equivalence and diffeomorphism should coincide for algebraic surfaces. Counterexamples, for the hitherto open case of surfaces of general type, have been given in the last years by Manetti, by Kharlamov-Kulikov and in my cited article. For the latter much simpler examples, it was shown that there are surfaces $S$ which are not deformation equivalent to their complex conjugate. However, by Seiberg-Witten theory, any (oriented) diffeomorphism of minimal surfaces carries the canonical class K to + K or to - K, and deformation equivalence implies the existence of a diffeomorphism carrying K to +K. In fact, as observed by a referee, the bulk of the proof was to show that our surfaces have no selfhomeomorphism carrying K to - K (the same for the K-K surfaces). In this note we show that Manetti's surfaces provide indeed a counterexample to the reinforced conjecture, since they are symplectomorphic. Our result is that a surface of general type has a canonical symplectic structure (up to symplectomorphism) which is invariant for deformation and for certain degenerations to normal surfaces. Since moreover no simply connected counterexamples to the conjecture are known, we provide explicit families of 1-connected surfaces, which are obtained by glueing together two fixed manifolds with boundary, are not deformation equivalent, but are homeomorphic under a homeomorphism carrying K to +K. We also give as application the existence of symplectically equivalent, but not deformation equivalent cuspidal plane curves.

研究の動機と目的

• 一般型の最小的でない表面に、変形に対して不変な標準的シンプレクティック構造が存在することを確立すること。
• 特異点を伴う代数的表面において、変形型とシンプレクティック同相型が一致するかどうかを調査すること。
• 商特異点のQ-ゴレンシュタイン滑らかさが、シンプレクティック不変性および微分同相型に与える影響を分析すること。
• 結果をカスプ付き平面曲線の同相型問題に応用し、シンプレクティック同相型が等奇性的変形同値を意味しないことを示すこと。

提案手法

• m ≥ 4 に対して、射影空間へのm重標準埋め込みを介して、Fubini-Study形式を引き戻すことにより、標準的シンプレクティック形式を構成する。
• ヴェロネーゼ埋め込みとモーザーのシンプレクティック同相型定理を用いて、異なるmに対するシンプレクティック同相型の不変性を証明する。
• 正則標準因子が非常にでない場合にも、標準的モデルとその有理二重点特異点の滑らかさを考察することで、証明を拡張する。
• Q-ゴレンシュタイン滑らかさがシンプレクティック構造を保存することを、変形理論と滑らかさ領域の既約性を用いて示す。
• 中心ファイバーが単一滑らかさ特異点（SSS）を許容する表面の族に適用され、滑らかなファイバー同士がシンプレクティック同相であることを保証する。
• ミルナーのファイバー貼り合わせと非正則的分岐被覆を用いて、標準的モデルを滑らかにした表面のシンプレクティック不変性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型の最小的でない表面に定義された標準的シンプレクティック構造は、滑らかな変形および特異点のQ-ゴレンシュタイン滑らかさの下で不変であるか。
• RQ2 一般型の2つの表面が微分同相的かつシンプレクティック同相的であるが、変形同値ではないことはあり得るか。
• RQ3 シンプレクティック同相なカスプ付き平面曲線は、常に等奇性的変形同値であるか。
• RQ4 滑らかさの既約成分が、滑らかなファイバーのシンプレクティック同相型を決定づける役割を果たすか。
• RQ5 商特異点のQ-ゴレンシュタイン滑らかさは、得られる滑らかな表面のシンプレクティック型および微分同相型にどのように影響するか。

主な発見

• 一般型の最小的でない表面は、コhomology類が標準類である、シンプレクティック同相型の下で一意な標準的シンプレクティック構造を備える。
• 同じ特異な中心ファイバーからQ-ゴレンシュタイン滑らかさを経て得られるが、変形同値でない表面は、シンプレクティック同相である。
• マネッティの非変形同値な一般型表面の例は、標準類を保存する微分同相を介してシンプレクティック同相的かつ微分同相的である。
• 正則標準因子が非常にでない場合でも、単一滑らかさ特異点（SSS）を許容する変形では、シンプレクティック同相型が不変である。
• 非変形同値な表面から得られるカスプ付き平面曲線は、シンプレクティック同相ではあるが、等奇性的変形同値ではない。
• 表面の標準的モデルの構成および有理二重点特異点の滑らかさにおいて、シンプレクティック構造が保存され、変形過程の不変性が保証される。