[論文レビュー] Symplectic topology of Lagrangian submanifolds of CP^n with intermediate minimal Maslov numbers

Hiroshi Iriyeh|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 ℂPⁿ における中間的最小マスロフ数をもつ単調ラグランジュ部分多様体のシンプレクティック位相的性質を調査し、SU(p)/ℤₚ や SU(p)/SO(p)ℤ₃ などの族を対象としている。ビラン＝コルネアの理論と ℤ₂ におけるフローリングコホモロジーを用いて、ホモロジカルな剛性と非可動性を確立し、n=5 および n=8 の場合に、これらのラグランジュ部分多様体がそれぞれ SU(3)/ℤ₃ および SU(3)/(SO(3)ℤ₃) と同相なコホモロジーをもち、最小マスロフ数に等しい位数のユニルーリングをもつことを証明している。

ABSTRACT

We examine symplectic topological features of certain family of monotone Lagrangian submanifolds in CP^n. Firstly, we give a cohomological restriction for Lagrangian submanifolds in CP^n whose first integral homologies are 3-torsion. In particular, in the case where n=5,8, we prove the cohomologies with coefficients in Z_2 of such Lagrangian submanifolds are isomorphic to that of SU(3)/(SO(3) Z_3) and SU(3)/Z_3, respectively. Secondly, we calculate the Floer cohomology of a monotone Lagrangian submanifold SU(p)/Z_p in CP^{p^2-1} with coefficients in Z_2 by using Biran-Cornea's theory.

研究の動機と目的

• ℂPⁿ 内の中間的最小マスロフ数をもつ単調ラグランジュ部分多様体のシンプレクティック位相的性質を調査すること。
• ℂP⁵ および ℂP⁸ において、H₁ に 3- torsion をもつラグランジュ部分多様体について、ホモロジカルな剛性を確立すること。
• ビラン＝コルネアの理論を用いて、ℂP^{p²−1} 内の SU(p)/ℤₚ におけるフローリングコホモロジーを計算すること。
• これらのラグランジュ部分多様体の非可動性およびユニルーリングを証明すること。
• ℂPⁿ 内の単調ラグランジュ部分多様体の分類に貢献し、シンプレクティック準状態および量子コホモロジーにおけるその役割を明らかにすること。

提案手法

• 単調ラグランジュ部分多様体に対して ℤ₂ 係数をもつフローリングコホモロジーのビラン＝コルネアの理論を用いる。
• H₁ に 3- torsion をもつラグランジュ部分多様体の構造から導かれるコホモロジー的制約を適用する。
• 最小マスロフ数 N_L を、ラグランジュ部分多様体の分類および剛性の決定に重要な不変量として用いる。
• 定理 24 を適用して、コホモロジーにおける狭義性および環の生成性を検証することで、位数 N_L のユニルーリングを証明する。
• ラグランジュの円バンドル構成とオーアの結果を用いて、N_L ∈ [1, n+1] を評価する。
• H*(L;ℤ₂) が次数 ≤ 2p−1 のクラスによって生成されることを用いて、ユニルーリング定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂPⁿ 内のラグランジュ部分多様体 L が H₁(·;ℤ) に 3- torsion をもつとき、そのコホモロジールーブが SU(3)/ℤ₃ および SU(3)/(SO(3)ℤ₃) と一致する、すなわちホモロジカルに剛性をもつとみなせるか？（次元 5 および 8 において。）
• RQ2 SU(p)/ℤₚ におけるフローリングコホモロジーは、ビラン＝コルネアの枠組みを用いて ℤ₂ 係数で計算可能か？
• RQ3 すべての p ≥ 2 に対して、ℂP^{p²−1} 内のラグランジュ部分多様体 SU(p)/ℤₚ は非可動か？
• RQ4 ラグランジュ部分多様体 SU(p)/ℤₚ に対して、そのユニルーリングの位数が最小マスロフ数 N_L = 2p に等しいとみなせるか？
• RQ5 中間的最小マスロフ数（2p および p+1）は、ℂPⁿ 内の単調ラグランジュ部分多様体のシンプレクティック位相的性質および分類にどのように影響を与えるか？

主な発見

• n=5 のとき、任意の単調ラグランジュ部分多様体 L ⊂ ℂP⁵ で H₁(L;ℤ) に 3- torsion をもつものは、H*(L;ℤ₂) ≅ H*(SU(3)/(SO(3)ℤ₃);ℤ₂) をみたす。
• n=8 のとき、同様に H₁(L;ℤ) に 3- torsion をもつ任意の L ⊂ ℂP⁸ は、H*(L;ℤ₂) ≅ H*(SU(3)/ℤ₃;ℤ₂) をみたす。
• ℂP^{p²−1} 内の SU(p)/ℤₚ におけるフローリングコホモロジーは ℤ₂ 係数で非自明であり、非可動性を示唆する。
• p が奇素数のとき、ラグランジュ部分多様体 SU(p)/ℤₚ は狭義であり、最小マスロフ数 N_L = 2p の位数でユニルーリングをもつ。
• ℂP^{p²−1} 内の SU(p)/ℤₚ における最小マスロフ数は N_L = 2p であり、ℂP^{(p(p+1)/2)−1} 内の SU(p)/SO(p)ℤ₃ では p が素数のとき N_L = p+1 である。
• ユニルーリングの結果は、SU(p)/ℤₚ および 2 つの他の場合（L ⊂ ℂP⁸ で N_L = 6、L ⊂ ℂP²⁶ で N_L = 18）についても、指定されたコホモロジー的条件下で成立する。