[論文レビュー] Symplecticity-preserving continuous-stage Runge-Kutta-Nyström methods

Wensheng Tang, Jing-Jing Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分離型ハミルトニアン系に由来する2階常微分方程式を解くために、シンプレクティック性を保つ連続段Runge-Kutta-Nyström（csRKN）法を提案する。レジェンドル多項式展開を活用し、十分なシンプレクティシティ条件を導出することで、高次で、対角線に下三角行列をもつ（または上三角行列をもつ）、シンプレクティック性を保つ積分法を構築した。この手法は、古典的手法が複雑な非線形次数条件を解く必要があるのに対し、幾何構造をより効率的に保存する。

ABSTRACT

We develop continuous-stage Runge-Kutta-Nyström (csRKN) methods for solving second order ordinary differential equations (ODEs) in this paper. The second order ODEs are commonly encountered in various fields and some of them can be reduced to the first order ODEs with the form of separable Hamiltonian systems. The symplecticity-preserving numerical algorithm is of interest for solving such special systems. We present a sufficient condition for a csRKN method to be symplecticity-preserving, and by using Legendre polynomial expansion we show a simple way to construct such symplectic RKN type method.

研究の動機と目的

• 分離型ハミルトニアン系に由来する2階ODEのシンプレクティック構造を保つ連続段RKN法の開発。
• csRKN法におけるシンプレクティシティの十分条件を確立し、構造保存型積分法の体系的構築を可能にする。
• 古典的手法で一般的に必要な複雑な非線形次数条件を解く必要を回避することで、高次シンプレクティック積分法の構築を簡略化する。
• 同一の連続段形式から、異なる数値積分規則を用いることで複数のシンプレクティック積分法を導出可能であることを示す。
• 自由パラメータを有する4次精度の明示的および対角線に下三角行列をもつ（または上三角行列をもつ）シンプレクティック積分法を提供し、Störmer-Verlet法などの既知のスキームを含む。

提案手法

• 内部段の連続段形式とButcherテーブル関数への依存関係を分析することで、csRKN法におけるシンプレクティシティの十分条件を導出する。
• 係数関数 $ A_{\tau,\sigma} $, $ \hat{A}_{\tau,\sigma} $, $ B_\tau $, および $ \hat{B}_\tau $ のパラメータ化にレジェンドル多項式展開を用い、解析的にシンプレクティック法を構築可能にする。
• 展開された係数にシンプレクティシティおよび次数条件を課し、自由パラメータを決定するための代数方程式系を導出する。
• ガウス積分規則を用いて連続段法を古典的RKNスキームに離散化し、明示的および対角線に下三角行列をもつ（または上三角行列をもつ）積分法を生成する。
• 係数に特定の代数的制約を課えることで、2パラメータ族の対角線に下三角行列をもつ（または上三角行列をもつ）シンプレクティック積分法を構築する。
• 係数行列 $ \bar{A}_{ij} $ に上三角行列性（下三角行列成分がゼロ）をさらに課することにより、csRKN法から明示的シンプレクティック積分法を導出可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離型ハミルトニアン系に由来する2階ODEのシンプレクティック構造を保つ連続段RKN法を構築可能か？
• RQ2 csRKN法がシンプレクティックであるための十分条件は何か？ そして、係数関数の形でどのように表現できるか？
• RQ3 レジェンドル多項式展開を用いることで、自由パラメータを有するシンプレクティックcsRKN法を体系的に構築可能か？
• RQ4 同一のcsRKN形式から、異なる積分規則を用いることで、複数の古典的RKNスキームを導出可能か？
• RQ5 積分規則の次数と、対応する離散RKN法の次数の関係は何か？

主な発見

• csRKN法におけるシンプレクティシティの十分条件が導出され、非線形次数条件の完全な系を解く必要がなく、シンプレクティック積分法の構築が可能になった。
• 2パラメータ族の4次精度の対角線に下三角行列をもつ（または上三角行列をもつ）シンプレクティック積分法が構築され、表3および式(5.6)～(5.8)に明示的な形で示された。
• 係数行列に追加制約を課えることで、明示的シンプレクティック積分法が導出され、3つの新しい明示的スキームが得られ、そのうちの1つは広く知られたStörmer-Verlet法である。
• パラメータ $ \alpha = \frac{1}{8}, \beta = \frac{\sqrt{3}}{24}, \gamma = -\frac{1}{8} $ のとき、Störmer-Verletスキームが特別な場合として回復され、既存の結果と整合することが確認された。
• 高次積分法（例：3段、4次精度）は、より高次積分規則に拡張し、得られる代数方程式系を解くことで構築可能である。
• 本手法により、古典的手法が次数条件から生じる複雑な非線形代数系を解く必要があるのに対し、高次シンプレクティックRKN法の構築が簡略化された。