[論文レビュー] Symplectormophism groups of non-compact manifolds, orbifold balls, and a space of Lagrangians

Richard Hind, Martin Pinsonnault+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない球体のシンプレクティック埋め込み空間と、ヒルツェブルシュ面上のケーラー等距変換群との間でホモトピー同値を確立し、RP² の余接 bundle 内のラグランジュ的実射影平面の空間が弱くコネクテッドであることを証明する。シンプレクティゼーションと接触幾何を用いて、非コンパクト多様体のシンプレクティズム群を代数的表面の等距変換群と結びつける。これは、シンプレクティックパッキングとラグランジュ的空間に関する既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

We establish connections between contact isometry groups of certain contact manifolds and compactly supported symplectomorphism groups of their symplectizations. We apply these results to investigate the space of symplectic embeddings of balls with a single conical singularity at the origin. Using similar ideas, we also prove the longstanding expected result that the space of Lagrangian $\RR P^2$ in $T^*\RR P^2$ is weakly contractible.

研究の動機と目的

• 接触多様体のシンプレクティゼーションとして得られる非コンパクトシンプレクティック多様体のシンプレクティズム群のホモトピー型を理解すること。
• 幾何的・位相的技法を用いて、角特異性を持つ滑らかでない球体のシンプレクティック埋め込み空間を分析すること。
• RP² の余接 bundle 内のラグランジュ的実射影平面の空間が弱くコネクテッドであることを証明し、既知のラグランジュ的球体に関する結果を拡張すること。
• シンプレクティゼーションされたレンズ空間のコンパクトな台を持つシンプレクティズムと、代数的表面の等距変換群の基点付きループ空間との間の対応を確立すること。

提案手法

• L(n,1) のシンプレクティゼーションのシンプレクティズム群を、O(n) バンドルのゼロ切断を除いた特異点なしの全空間のシンプレクティズム群に還元する。
• Hirzebruch 表面 F_n における sL(n,1) の無限遠切断およびゼロ切断の補集合としての同定を用い、シンプレクティズム群とケーラー等距変換群との関係を確立する。
• シンプレクティックパッキングおよび同倫の理論を適用し、滑らかでない球体のシンプレクティック埋め込みが、F_n のケーラー等距変換群 K_n とホモトピー同値であることを示す。
• 滑らかでない球体上に線分場を構成し、コンパクトな台を持つ微分同相群と、自明化された射影接バンドルの切断との関係を確立する。
• 区間上の微分同相群の空間および R への写像の空間のコネクテッド性を用いて、自明な線分場にホモトープな線分場の空間がコネクテッドであることを示す。
• 滑らかでない球体のコンパクトな台を持つ微分同相群の空間と、そのような線分場の空間との間でホモトピー同値を確立し、微分同相群のコネクテッド性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レンズ空間 L(n,1) のシンプレクティゼーションのコンパクトな台を持つシンプレクティズム群のホモトピー型は何か？
• RQ2 角特異性を持つ滑らかでない球体のシンプレクティック埋め込みは、代数的表面の等距変換群とどのように関係するか？
• RQ3 T*RP² 内のラグランジュ的 RP² の部分多様体の空間は弱くコネクテッドか？ これは既知のラグランジュ的球体に関する結果とどのように関係するか？
• RQ4 幾何的および位相的還元を用いて、サイズ 1 の滑らかでない球体のシンプレクティズム群がコネクテッドであることを示せるか？
• RQ5 Hirzebruch 表面 F_n のケーラー等距変換群は、滑らかでない球体のシンプレクティック埋め込みを分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• L(n,1) のシンプレクティゼーションのコンパクトな台を持つシンプレクティズム群は、SU(2) の基点付きループ空間と弱ホモトピー同値であり、可算個の成分を持つ。
• サイズ ε ∈ (0,1) の滑らかでない球体をサイズ 1 の滑らかでない球体に埋め込むシンプレクティック埋め込みの空間は、Hirzebruch 表面 F_n のケーラー等距変換群 K_n とホモトピー同値である。
• サイズ 1 の滑らかでない球体の、縮約されたコンパクトな台を持つシンプレクティズム群はコネクテッドである。
• C^∞-位相を備えた T*RP² 内のラグランジュ的 RP² の部分多様体の空間は弱くコネクテッドである。
• n=1 の場合、この結果は、既知の事実、すなわち、B(ε)→B(1) のシンプレクティック埋め込み空間が U(2) に変形再びできる、ことに帰着する。
• 角特異性を持つサイズ n の滑らかでない 4-球体のコンパクトな台を持つ微分同相群の空間は、線分場および同倫の技法によりコネクテッドであることが示された。