[論文レビュー] SymX: Energy-based Simulation from Symbolic Expressions

José Antonio Fernández-Fernández, Fabian Löschner+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2023

Modeling and Simulation Systems被引用数 4

ひとこと要約

SymX は、物理ベースのシミュレーションにおけるエネルギー関数の一次および二次微分を自動的に計算し、オンザフライで最適化されたベクトル化コードをコンパイルし、並列処理でグローバルな微分を構成する記号的微分フレームワークである。ユーザーの作業を最小限に抑えつつ、高性能で生産用途に耐えるシミュレーションを実現し、高次の有限要素法シミュレーションにおいて、最先端のフレームワークと比較して最大2桁の高速化を達成している。

ABSTRACT

Optimization time integrators are effective at solving complex multi-physics problems including deformable solids with non-linear material models, contact with friction, strain limiting, etc. For challenging problems, Newton-type optimizers are often used, which necessitates first- and second-order derivatives of the global non-linear objective function. Manually differentiating, implementing, testing, optimizing, and maintaining the resulting code is extremely time-consuming, error-prone, and precludes quick changes to the model, even when using tools that assist with parts of such pipeline. We present SymX, an open source framework that computes the required derivatives of the different energy contributions by symbolic differentiation, generates optimized code, compiles it on-the-fly, and performs the global assembly. The user only has to provide the symbolic expression of each energy for a single representative element in its corresponding discretization and our system will determine the assembled derivatives for the whole simulation. We demonstrate the versatility of SymX in complex simulations featuring different non-linear materials, high-order finite elements, rigid body systems, adaptive discretizations, frictional contact, and coupling of multiple interacting physical systems. SymX's derivatives offer performance on par with SymPy, an established off-the-shelf symbolic engine, and produces simulations at least one order of magnitude faster than TinyAD, an alternative state-of-the-art integral solution.

研究の動機と目的

• 複雑な物理シミュレーションにおける最適化ベースの時間積分法に必要な一次および二次微分の導出と効率的な実装を自動化すること。
• マルチフィジックスシステムにおける非線形エネルギー関数の手作業による誤りの多い記号的およびコードレベルの微分の必要性を排除すること。
• 迅速なプロトタイピングと反復開発を可能にするために、微分の高速コンパイルと高性能な評価を提供すること。
• カスタマイズ可能なデータ型とソルバと統合可能な柔軟な統合を可能にすること。
• 接触や破断、自己適応メッシュの細分化によって生じるような、変化するスパarsityパターンを有する動的システムを扱うこと。

提案手法

• フレームワークは、有限要素や制約などの個々の要素の局所的エネルギー関数を記号的表現で表現する。
• 記号的微分を実行し、自由度に関してエネルギーの一次および二次微分を解析的に自動導出する。
• 生成された微分コードはベクトル化され、高速性を実現するためのジャストインタイム（JIT）コンパイルパイプラインでオンザフライでコンパイルされる。
• システムは、要素レベルの寄与を並列処理でグローバルな残差行列およびヘッセ行列に自動的にアセンブルする。
• 任意のデータ型をサポートし、既存の最適化ソルバーやシミュレーションバックエンドとシームレスに統合できる。
• 接触や自己適応メッシュの細分化によって生じるような、システムトポロジーとスパarsityの動的変化を処理できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的微分とオンザフライコード生成によって、複雑な物理シミュレーションにおいてハンドオーバーされたコードと同等のパフォーマンスを達成できるか？
• RQ2 自動微分計算は、マルチフィジックスシミュレーションシステムにおける開発時間とエラー率をどの程度削減できるか？
• RQ3 本フレームワークは、異なる材料モデル、要素タイプ、システム複雑性のスケーリングにおいてどのように動作するか？
• RQ4 接触やトポロジーの変化によって生じるスパarsityパターンの変化を伴う動的システムを、効率的に処理できるか？
• RQ5 高次の有限要素法において、既存の自動微分ツールと比較してどの程度のパフォーマンス向上が達成できるか？

主な発見

• SymX はハンドオーバーされたコードと同等のパフォーマンスを達成しており、高次の有限要素法シミュレーションにおいて、最先端のフレームワークと比較して最大2桁の高速化を達成した。
• 本フレームワークにより、複雑なエネルギー関数を数学的表現に近く、最小限のコードで記述できるため、シミュレーション開発が迅速化された。
• 5次元ビーム要素の例では、SymX が23,824個の微分項と51,565回の演算を生成し、最適化された1002 kBのコードにコンパイルされ、高い効率を示した。
• 9種類の異なるエネルギー型を含む複雑な自動車スライドシミュレーションでは、SymX が剛体、変形体、接触制約の間でグローバルな微分のアセンブルを正常に処理した。
• 自己適応クロスとトゥルーベットのシミュレーションにおいて、動的変化と複雑な結合を一貫したパフォーマンスで処理し、堅牢性を示した。
• 非微分可能な中間表現（例：ノルムや平方根）の取り扱いには制限があるが、SymX は警告を出力し、数値的不安定性を緩和するための安定化近似をサポートしている。