[論文レビュー] Synchronization and Control for Multi-Weighted and Directed Complex Networks

Xiwei Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2021

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有界なチビシェフ距離内にある任意のベクトルへの正規化左固有ベクトル（NLEVec）の一般化を用いて、多重重み付きかつ有向複雑ネットワークのための新規な同期化および制御フレームワークを提案する。Deviationが定義された境界内にある限り、十分に大きな結合強度のもとで同期化が達成可能であることを証明しており、これは適応制御を可能にするとともに、単一重みネットワークよりも高速な同期化を実現する。

ABSTRACT

The study of complex networks with multi-weights has been a hot topic recently. For a network with a single weight, previous studies have shown that they can promote synchronization. But for complex networks with multi-weights, there are no rigorous analysis to show that synchronization can be reached faster. In this paper, the complex network is allowed to be directed, which will make the synchronization analysis difficult for multiple couplings. In virtue of the normalized left eigenvectors (NLEVec) corresponding to the zero eigenvalue of coupling matrices, we prove that if the Chebyshev distance between NLEVec is less than some value, which is defined as the allowable deviation bound, then the synchronization and control will be realized with sufficiently large coupling strengths, i.e., all coupling matrices do accelerate synchronization. Moreover, adaptive rules are also designed for the coupling strength.

研究の動機と目的

• 非対称な結合行列を有する多重重み付きネットワーク（CNMWs）が単一重みネットワークよりも高速に同期化できるかどうかについて、厳密な解析が不足しているという問題に取り組む。
• 古典的なNLEVecに基づく同期化フレームワークを一般化し、真のNLEVecからのチビシェフ距離が定義された境界内にある任意の正規化された正のベクトルの使用を可能にする。
• 非対称な結合行列を有する有向CNMWsに対して、統一的な同期化および制御戦略を構築する。
• ピン留め制御下で指数的同期化を保証する適応的結合強度ルールを設計する。
• 多重重み付き有向ネットワークが単一重みネットワークよりも同期化を加速できることを示す。

提案手法

• 許容可能な同期境界からのずれ（ADSB）および許容可能な制御境界からのずれ（ADCB）という2つの新しい境界を導入し、真のNLEVecからのチビシェフ距離が許容範囲内に収まる場合に限り、同期化解析が有効であることを定義する。
• 同期化解析のためのラプラシアン関数の構築を可能にするために、正規化された正のベクトルθで定義されるダミーのターゲットノードを導入し、ノード間同期をノードとダミー・ノード間の同期に変換する。
• 修正された結合行列 $ G_{ heta} = [( heta heta^T - heta heta^T)G + G^T( heta heta^T - heta heta^T)]/2 $ を定義し、この行列が横方向空間で負定値であれば同期化が達成されることを証明する。
• 2つの結合行列を有するネットワークの場合、個々のNLEVecの凸結合 $ heta = u^1 heta^1 + u^2 heta^2 $ を用いて、同期化解析のための共通の基準ベクトルを定義する。
• 指数的同期化を保証する適応的結合強度ルール $ rac{dc(t)}{dt} = rac{eta}{2} heta_i orm{z_i(t) - z(t)}^2 $ を提案する。
• ラプラス安定性理論を適用して、変換された結合行列の最大固有値および内部行列ゲインを用いた、指数的同期化の十分条件を導出する。

Figure 1: Synchronization dynamics under one or two coupling

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合行列が非対称で、それぞれが独自のNLEVecを有する多重結合行列を有する有向複雑ネットワークにおいて、同期化が非対称性を考慮して厳密に証明可能か？
• RQ2 同期化解析に真のNLEVecのみを使用するという制限を緩和でき、真のNLEVecからの偏差が境界内にある任意の正規化された正のベクトルを使用できるか？
• RQ3 異なる結合行列の複数のNLEVecから、共通の基準ベクトルを構築し、多重重み付きネットワークにおける同期化を可能にすることができるか？
• RQ4 有向ネットワークにおいて複数の結合行列を使用することは、単一重みネットワークと比較して同期化を高速化できるか？
• RQ5 ピン留め制御下で、多重重み付き有向ネットワークにおける指数的同期化を保証する適応的結合強度ルールを設計できるか？

主な発見

• 本稿では、正規化された正のベクトルθと結合行列の真のNLEVecとの間のチビシェフ距離がADSB境界未満であれば、θを用いて同期化を証明可能であると確立しており、これにより古典的なNLEVecに基づく手法が一般化される。
• 2つの結合行列を有する有向多重重み付きネットワークでは、2つのNLEVec間の要素ごとの最大差がそれぞれの個別のADCB値の和以下であれば、指数的同期化が保証される。
• 2つのNLEVecの凸結合 $ heta = u^1 heta^1 + u^2 heta^2 $ は、重み $ u^1, u^2 $ が導出された境界を満たす限り、同期化のための共通基準ベクトルとして使用可能である。
• 適応的結合強度ルール $ rac{dc(t)}{dt} = rac{eta}{2} heta_i orm{z_i(t) - z(t)}^2 $ は、同期誤差が継続する間のみ結合強度を増加させるため、指数的収束を保証する。
• 理論的解析により、多重重み付き有向ネットワークが単一重みネットワークよりも高速に同期化可能であることが確認され、複数の結合経路がネットワークの接続性と収束速度を向上させる。
• ピン留め制御下での指数的同期化を保証する条件 $ L_h + c rac{1}{ heta_{ ext{max}}} ig( u^1 ilde{ heta}^1 + u^2 ilde{ heta}^2 ig) < 0 $ が得られ、ここで $ ilde{ heta}^m $ は変換された結合行列の最大固有値である。

Figure 2: Sketch of vector $\theta$ as the weighted addition of vectors $\xi^{1}$ and $\xi^{2}$