[論文レビュー] Synchronization in iterated function systems

Ale Jan Homburg|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、コンパクト多様体上の反復関数系（IFS）における同期現象を、シフト作用素によって駆動されるスカラープロダクト力学系を用いて確立する。トランスティビティおよび負のファイバー・リャプノフ指数の下で、一意な吸引不変グラフの存在を証明し、同期のメカニズムを説明する。有限IFSの場合、さらに、全スコープの不変測度、ベルヌーイ型の周辺分布、および負のファイバー指数を同時に持つ開集合が存在することを示す。

ABSTRACT

We treat synchronization for iterated function systems on compact manifolds in two cases:(i) iterated function systems generated by random diffeomorphisms with absolutely continuous parametric noise,(ii) iterated function systems generated by finitely many diffeomorphisms. Synchronization is the convergence of orbits starting at different initial conditions when iterated by the same sequence of diffeomorphisms. The iterated function systems admit a description as skew product systems of diffeomorphisms on compact manifolds driven by shift operators. Under open conditions including transitivity and negative fiber Lyapunov exponents, we prove the existence of a unique attracting invariant graph for the skew product system. This explains the occurrence of synchronization. For skew product systems arising from iterated function systems generated by finitely many diffeomorphisms we have the following additional statements. Recent work by Bochi, Bonatti and D\'{\i}az establishes the existence of an open class of such skew product systems that admit invariant measures of full support with zero fiber Lyapunov exponents. Our results imply the existence of an open class of skew product systems that simultaneously admit an invariant measure of full support, Bernoulli measure as marginal, and negative fiber Lyapunov exponents.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上の反復関数系が、同一の微分同相写像の列による軌道の収束として定義される同期を示すための条件を確立すること。
• 絶対連続なパrametricノイズを伴う確率的微分同相写像によって生成されるIFSの力学を、スカラープロダクト系を用いて分析すること。
• 有限個の微分同相写像によって生成される有限IFSを研究し、全スコープの不変測度、ベルヌーイ型の周辺分布、および負のファイバー・リャプノフ指数が共存する条件を同定すること。
• 最近のゼロのファイバー・リャプノフ指数に関する結果を拡張し、あるクラスの有限IFSにおいて、同時に負のファイバー指数と全スコープの不変測度、ベルヌーイ型周辺分布を有する開集合が存在することを示すこと。

提案手法

• コンパクト多様体上のシフト空間上での微分同相写像のスカラープロダクト系として反復関数系をモデル化する。
• トランスティビティおよび負のファイバー・リャプノフ指数を含む開条件を適用し、一意な吸引不変グラフの存在を証明する。
• エルゴディック理論およびファイバー力学を用いて、スカラープロダクト設定における不変測度の構造を分析する。
• ボーチ、ボナティ、ディアスによる、ゼロのファイバー・リャプノフ指数を有する全スコープの不変測度に関する最近の結果を活用し、負の指数を有する系を構成する。
• 負のファイバー・リャプノフ指数と全スコープの不変測度の共存が、ある有限IFSのクラスにおいて開かつ一般的であることを確立する。
• 不変測度の周辺分布がベルヌーイ型であることを示し、確率的挙動と決定的力学を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対連続なパrametricノイズを伴う確率的微分同相写像によって生成される反復関数系において、どのような条件下で同期が発生するか？
• RQ2 コンパクト多様体上のIFSから導かれるスカラープロダクト系において、具体的には不変グラフとしてどのような力学的構造が出現するか？
• RQ3 有限反復関数系の開集合が、同時に全スコープの不変測度と負のファイバー・リャプノフ指数を有する可能性はあるか？
• RQ4 このような系が、同時に全スコープの不変測度、ベルヌーイ型の周辺分布、および負のファイバー・リャプノフ指数を有することは可能か？
• RQ5 トランスティビティ、ファイバー・リャプノフ指数、不変測度の相乗作用が、IFSにおける同期をどのように説明するか？

主な発見

• トランスティビティおよび負のファイバー・リャプノフ指数の下で、スカラープロダクト系は一意な吸引不変グラフを有し、これがIFSにおける同期のメカニズムを説明する。
• 絶対連続なパrametricノイズを伴う確率的微分同相写像によって生成されるIFSでは、この一意な吸引不変グラフの存在が同期を引き起こす。
• 有限IFSの場合、ボーチ、ボナティ、ディアスによって確立されたように、ファイバー・リャプノフ指数がゼロである全スコープの不変測度を有するスカラープロダクト系の開集合が存在する。
• 本論文では、この同じ開集合内で、負のファイバー・リャプノフ指数と全スコープの不変測度を有する系が存在することを示している。
• さらに、このような系は同時にベルヌーイ型測度を不変測度の周辺分布として有し、確率的混合挙動を示す。
• 結果として、負のファイバー指数、全スコープの不変測度、ベルヌーイ型周辺分布が共存する一般の有限IFSのクラスにおいて、同期が安定であることが確認された。