[論文レビュー] Synchronization Strings: Efficient and Fast Deterministic Constructions over Small Alphabets

Kuan Cheng, Xin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

DNA and Biological Computing参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、小さなアルファベット上で、初めての決定的で近線形時間の同期文字列構成法を提示する。アルファベットサイズは $O(\varepsilon^{-4})$ であり、$\varepsilon \geq C(\log\log n)^2 / \log n$ のとき構成時間は $O(n \cdot (\log\log n)^2)$ である。インサート・デリート符号と同期文字列の間の新しい接続を導入し、連結符号と再帰的分解を用いた効率的な構成を可能にする。

ABSTRACT

Synchronization strings are recently introduced by Haeupler and Shahrasbi [HS17a] in the study of codes for correcting insertion and deletion errors (insdel codes). A synchronization string is an encoding of the indices of the symbols in a string, and together with an appropriate decoding algorithm it can transform insertion and deletion errors into standard symbol erasures and corruptions. This reduces the problem of constructing insdel codes to the problem of constructing standard error correcting codes, which is much better understood. Besides this, synchronization strings are also useful in other applications such as synchronization sequences and interactive coding schemes. Amazingly, [HS17a] showed that for any error parameter $\varepsilon>0$, synchronization strings of arbitrary length exist over an alphabet whose size depends only on $\varepsilon$. Specifically, they obtained an alphabet size of $O(\varepsilon^{-4})$, as well as a randomized construction that runs in expected time $O(n^5)$. However, it remains an interesting question to find deterministic and more efficient constructions. In this paper, we improve the construction in [HS17a] in three aspects: we achieve a smaller alphabet size, a deterministic construction, and a faster algorithm. Along the way we introduce a new combinatorial object, and establish a new connection between synchronization strings and insdel codes --- such codes can be used in a simple way to construct synchronization strings. This new connection complements the connection found in [HS17a], and may be of independent interest. In an independent work [HS17c], Haeupler and Shahrasbi also give deterministic constructions of synchronization strings over arbitrary length (or even infinite length). Their constructions can achieve linear construction time, but have alphabet size $\varepsilon^{-O(1)}$, which may be larger than ours.

研究の動機と目的

• 先行研究における確率的で遅い構成法に代わる、決定的かつ効率的な同期文字列の構成という未解決問題に取り組む。
• 強い誤り訂正保証を維持したまま、同期文字列に必要なアルファベットサイズを小さくすること。
• インサート・デリート符号と同期文字列の間の新しい逆方向の接続を確立し、符号に基づいた同期文字列の構成を可能にする。
• 誤差パラメータ $\varepsilon$ に合理的な仮定の下で、同期文字列の近線形構成時間を達成すること。

提案手法

• 同期文字列の構築ブロックとして機能する新しい組合せ的対象「同期サークル」を提案する。
• 2段階の再帰的構成法を用いる：まず、アルファベットサイズ $O(\varepsilon^{-3})$ で長さ $m' = O(\frac{1}{\varepsilon^2} \log n (\log\log n + \log \frac{1}{\varepsilon}))$ の基本同期サークルを構築する。
• 外側にリード・ソロモング符号、内側に距離 $1-O(\varepsilon)$ の符号を用いた連結誤り訂正符号（ECC）を構築し、アルファベットサイズ $O(\varepsilon^{-1})$ で $n$ 個のコドワードを生成する。
• 基本同期サークルと連結ECCを組み合わせることで、アルファベットサイズ $O(\varepsilon^{-4})$ の最終的な $\varepsilon$-同期文字列を生成する。
• 多項式時間から近線形時間 $O(n \cdot (\log\log n)^2)$ にまで構成時間を短縮するため、再帰的デランドマイゼーション戦略を適用する。
• 新しい接続を活用する：インサート・デリート符号を用いて同期文字列を構成可能であり、先行研究で発見された方向とは逆の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アルファベットサイズが小さく、近線形時間で構成可能な決定的同期文字列は作成可能か？
• RQ2 インサート・デリート符号と同期文字列の間には、符号を用いて同期文字列を構成できるような逆方向の接続があるか？
• RQ3 決定的同期文字列構成法のアルファベットサイズを $O(\varepsilon^{-4})$ 未満にまで小さくできるか？
• RQ4 小規模なアルファベット上での決定的同期文字列の構成時間の最小限は何か？
• RQ5 アルファベットサイズと実行時間のトレードオフを調整することで、$\varepsilon$ が小さい場合でも効率的な構成が可能か？

主な発見

• 本稿では、$O(\varepsilon^{-4})$ のアルファベットサイズを持つ $\varepsilon$-同期文字列の、初めての決定的構成法を提示する。[11] の確率的 $O(\varepsilon^{-4})$-サイズ構成法を改善する。
• ある定数 $C>1$ に対して $\varepsilon \geq C(\log\log n)^2 / \log n$ のとき、構成時間は $O(n \cdot (\log\log n)^2)$ であり、近線形時間の複雑性を達成する。
• 新しい接続が確立された：インサート・デリート符号を用いて同期文字列を構成可能であり、先行研究で知られていた同期文字列からインサート・デリート符号への方向とは補完的である。
• リード・ソロモング符号と高距離の内側符号を組み合わせた2段階の再帰的アプローチを用いる。
• アルファベットサイズは $O(\varepsilon^{-4})$ のまま維持され、これまでは最も良い確率的構成法と同等の性能を達成するが、完全な決定論的かつより高い効率性を実現する。
• 定数 $\varepsilon$ の場合、実行時間は $n$ の多項式時間であるが、$\varepsilon$ がある閾値を超えると近線形時間にまで短縮され、[11] の $O(n^5)$ の期待時間と比べて顕著に改善されている。