[論文レビュー] Synchronization Strings: List Decoding for Insertions and Deletions

Bernhard Haeupler, Amirbehshad Shahrasbi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

DNA and Biological Computing被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、定数のアルファベットサイズと部分対数的リストサイズを用いて、任意の割合の挿入と削除を訂正できるリストデコーディング可能なインサート・デリート符号（insdel codes）を達成するための同期文字列（synchronization strings）を導入する。符号レートが容量に近づくことを示し、挿入は符号レートを低下させないのに対し、削除は符号レートを低下させることを証明する。また、符号レートが容量から離れるほど、アルファベットサイズが指数関数的に増大する必要があることを示し、誤り耐性における挿入と削除の根本的な非対称性を明らかにする。

ABSTRACT

We study codes that are list-decodable under insertions and deletions. Specifically, we consider the setting where a codeword over some finite alphabet of size $q$ may suffer from $δ$ fraction of adversarial deletions and $γ$ fraction of adversarial insertions. A code is said to be $L$-list-decodable if there is an (efficient) algorithm that, given a received word, reports a list of $L$ codewords that include the original codeword. Using the concept of synchronization strings, introduced by the first two authors [STOC 2017], we show some surprising results. We show that for every $0\leqδ<1$, every $0\leqγ0$ there exist efficient codes of rate $1-δ-ε$ and constant alphabet (so $q=O_{δ,γ,ε}(1)$) and sub-logarithmic list sizes. We stress that the fraction of insertions can be arbitrarily large and the rate is independent of this parameter. Our result sheds light on the remarkable asymmetry between the impact of insertions and deletions from the point of view of error-correction: Whereas deletions cost in the rate of the code, insertion costs are borne by the adversary and not the code! We also prove several tight bounds on the parameters of list-decodable insdel codes. In particular, we show that the alphabet size of insdel codes needs to be exponentially large in $ε^{-1}$, where $ε$ is the gap to capacity above. Our result even applies to settings where the unique-decoding capacity equals the list-decoding capacity and when it does so, it shows that the alphabet size needs to be exponentially large in the gap to capacity. This is sharp contrast to the Hamming error model where alphabet size polynomial in $ε^{-1}$ suffices for unique decoding and also shows that the exponential dependence on the alphabet size in previous works that constructed insdel codes is actually necessary!

研究の動機と目的

• リストサイズが有界である条件下でのインサート・デリート符号の最大達成可能レートを特定すること。
• 挿入と削除が存在する状況における符号レート、アルファベットサイズ、リストサイズのトレードオフを調査すること。
• 特にアルファベットサイズの役割に注目し、インサート・デリート符号の根本的限界を理解すること。
• 挿入と削除が符号レートおよびアルファベットサイズに与える影響の非対称性を明らかにすること。
• 挿入は符号にレートペナルティを課さないが、削除は課すという事実を示すこと。

提案手法

• 効率的なリストデコーディングを可能にする構造的道具として同期文字列を導入する。
• 確率的符号構築法を用いて、任意の δ<1 および γ≥0 に対して、定数のアルファベットサイズと部分対数的リストサイズを備えた符号がレート 1−δ−ε で存在することを示す。
• すべての可能な破損語に対してチェルノフ不等式と和集合不等式を適用し、リストサイズが L(n) を超える確率を抑え込む。
• レート 1−δ−ε を達成するには、アルファベットサイズが ε−1 に対して指数関数的に増大する必要があることを証明する。
• 挿入は敵が負担するため、符号レートに影響を与えないという事実を活用する。
• 同期文字列を用いて、多項式時間で実行可能な符号化および復号化アルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リストサイズが L(n) であるとき、δ 割合の削除と γ 割合の挿入を訂正できるインサート・デリート符号の最大レート R は何か？
• RQ2 定数サイズのアルファベットを用いても、符号レートを容量に近づけることができるか？
• RQ3 リストデコーダブルなインサート・デリート符号において、アルファベットサイズは容量との差とどのように関係するか？
• RQ4 なぜ挿入は符号レートを低下させないのに対し、削除は低下させるのか？
• RQ5 従来の構成におけるアルファベットサイズの指数関数的依存は、避けられるものか、避けられないものか？

主な発見

• 任意の δ<1、γ≥0、ε>0 に対して、定数のアルファベットサイズと部分対数的リストサイズを備えたレート 1−δ−ε のインサート・デリート符号が存在する。
• このような符号のアルファベットサイズは ε−1 に対して指数関数的に増大する必要があり、従来の指数的依存が避けがたいものであることが示された。
• 挿入は符号レートを低下させない。唯一、削除がレートに影響を与える。これは誤り耐性における根本的な非対称性を示している。
• 一意復号可能なインサート・デリート符号のレートは最大で 1−(δ+γ) であるが、リストデコーディングでは、任意に大きな挿入割合であってもレートが 1−δ に近づくことが可能である。
• 確率的符号構築法により、レート R < 1−log_q(γ+1)−γ log_q((γ+1)/γ)−(γ+1)/(l+1) の符号は高確率でリストデコーダブルであることが示された。
• この結果は、ハミングモデルがインサート・デリートモデルよりも厳密に弱いことを示しており、1つのハミング誤りは1つの挿入と1つの削除に相当するが、インサート・デリート符号はレートに損失を来さずにより多くの挿入に耐えられる。